Twee hoeken van een driehoek hebben hoeken van (2 pi) / 3 en (pi) / 4. Als een zijde van de driehoek een lengte van 4 heeft, wat is dan de langst mogelijke omtrek van de driehoek?

Antwoord:

# P_max = 28,31 # units

Uitleg:

Het probleem geeft je twee van de drie hoeken in een willekeurige driehoek. Omdat de som van de hoeken in een driehoek moet oplopen tot 180 graden, of #pi# radialen, we kunnen de derde hoek vinden:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# X = PI- (2pi) / 3-pi / 4 #

# X = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# X = pi / 12 #

Laten we de driehoek tekenen:

Het probleem stelt dat een van de zijden van de driehoek een lengte van 4 heeft, maar het geeft niet aan welke kant. In een willekeurige driehoek is het waar dat het kleinste kant zal tegenovergesteld zijn aan de kleinste hoek.

Als we de omtrek willen maximaliseren, moeten we de zijde met lengte 4 de zijde tegenover de kleinste hoek maken. Aangezien de andere twee zijden groter zijn dan 4, garandeert dit dat we de omtrek maximaliseren. Daarom wordt uit driehoek:

Eindelijk kunnen we de wet van sinussen om de lengte van de andere twee zijden te vinden:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Aansluitend krijgen we:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Oplossen voor x en y krijgen we:

# X = 10,93 # en # Y = 13,38 #

Daarom is de maximale omtrek:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Notitie: Aangezien het probleem niet de lengte-eenheden op de driehoek aangeeft, gebruikt u gewoon "eenheden".