Antwoord:
Ik denk niet dat die vergelijking geldig is. Ik ga ervan uit #abs (z) # is de absolute-waardefunctie
Uitleg:
Probeer met twee termen, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Vandaar
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Misschien bedoelt u de driehoeksongelijkheid voor complexe getallen:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
We kunnen dit afkorten
# | sum z_i | le sum | z_i | #
waar de bedragen zijn #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
Het echte deel is nooit groter dan de magnitude. Laat # Z = x + iy # voor sommigen echt #X# en # Y #. Duidelijk # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # en vierkante wortels te nemen # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. De magnitude is altijd positief; #X# kan wel of niet zijn; hoe dan ook, het is nooit meer dan de omvang.
Ik gebruik de overbar voor geconjugeerde. Hier hebben we een reëel getal, de kwadraat magnitude, die gelijk is aan het product van de conjugaten.De truc is dat het hetzelfde is als zijn eigenlijke deel. Het echte deel van de som is de som van de echte delen.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = tekst {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i tekst {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Door ons lemma, en de magnitude van het product dat het product van magnitudes is, en de magnitude van conjugaten gelijk zijn,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
We kunnen één factor van de grootte van de som annuleren # | sum z_i | #, wat positief is, de ongelijkheid behouden.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Dat is wat we wilden bewijzen.
