Wat is het kleinste geheel getal n zodanig dat n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Antwoord:

# N = 8.075 #

Uitleg:

Laat #v_p (k) # wees de veelheid van # P # als een factor van # K #. Dat is, #v_p (k) # is het grootste gehele getal dusdanig # P ^ (v_p (k)) | k #.

opmerkingen:

• Voor enige #k in ZZ ^ + # en # P # prime, we hebben #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Dit kan eenvoudig worden aangetoond door inductie)

• Voor elk geheel getal #k> 1 #, wij hebben # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Dit is intuïtief, als veelvouden van krachten van #2# komen vaker voor dan veelvouden van gelijkwaardige bevoegdheden van #5#, en kan rigoureus worden bewezen met behulp van een vergelijkbaar argument)

• Voor #j, k in ZZ ^ + #, wij hebben #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # voor elke primaire deler # P # van # J #.

Doorgaand, ons doel is om het minst gehele getal te vinden # N # zoals dat # 10 ^ 2016 | n #. Zoals # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #en bij de derde waarneming hoeven we dat alleen maar te bevestigen # 2016 <= v_2 (n!) # en # 2016 <= v_5 (n!) #. De tweede waarneming betekent dat de laatste de eerste impliceert. Het is dus voldoende om het minst gehele getal te vinden # N # zoals dat # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Vinden # N # we zullen een observatie maken die ons in staat zal stellen om te berekenen # V_5 (5 ^ k!) #.

Tussen #1# en # 5 ^ k #, er zijn # 5 ^ k / 5 # veelvouden van #5#, die elk op zijn minst bijdragen #1# tot de som #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Er zijn ook # 5 ^ k / 25 # veelvouden van #25#, die elk een extra bijdrage leveren #1# tot de som na de eerste telling. We kunnen op deze manier doorgaan tot we één veelvoud van bereiken # 5 ^ k # (dat is # 5 ^ k # zelf), wat heeft bijgedragen # K # keer tot de som. Op deze manier de som berekenen, hebben we

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) k5 ^ ^ (kb) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Zo vinden we dat # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Eindelijk zullen we vinden # N # zoals dat # v_5 (n!) = 2016 #. Als we berekenen # V_5 (5 ^ k!) # voor verschillende waarden van # K #, we vinden

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Zoals #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # heeft twee "blokken" nodig van #5^5#, twee van #5^4#, vier van #5^3#, en drie van #5^2#. Zo krijgen we

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Een computer kan dat snel verifiëren #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2.016 #. Dus #10^2016 | 8075!#en als #5|8075!# met veelvoud #2016# en #5|8075#, het is duidelijk dat geen geringere waarde zal volstaan.