Wat is het oppervlak van de solid gemaakt door f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x in [1,3] rond de x-as te roteren?

Antwoord:

Bepaal het teken en integreer dan door delen. Gebied is:

# A = 39,6345 #

Uitleg:

Je moet weten of #f (x) # is negatief of positief in #1,3#. daarom:

# Xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Om een teken te bepalen, is de tweede factor positief wanneer:

# E ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Sinds # E ^ x> 0 # voor enige #x in (-oo, + oo) # de ongelijkheid verandert niet:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# E ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Dus de functie is alleen positief als x negatief is en omgekeerd. Omdat er ook een is #X# rekening houden met #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x ^ e-x) #

Als de ene factor positief is, is de andere negatief, dus f (x) is altijd negatief. Daarom is de Area:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ ^ 3XE -xdx + int_1 3XE ^ ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 3x ^ * (^ e-x) dx + int_1 ^ 3x (e ^ x) dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 ^ 3-int_1 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3 ^ 3-int_1 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 ^ 3e ^ int_1 -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3 ^ 3e ^ int_1 xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ e ^ -3--1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Rekenmachine gebruiken:

# A = 39,6345 #

Antwoord:

Oppervlakte = 11,336,8 vierkante eenheden

Uitleg:

het gegeven #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

voor eenvoud laat #f (x) = y #

en # y = xe ^ -x -xe ^ x #

de eerste afgeleide # Y '# is nodig bij de berekening van het oppervlak.

Gebied # = 2pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

waar # Ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Gebied # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Bepaal de eerste afgeleide # Y '#:

differentiëren # y = x (e ^ -x - e ^ x) # het gebruik van de afgeleide van de productformule

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

na vereenvoudiging en factoring is het resultaat

de eerste afgeleide # Y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Bereken nu het gebied:

Gebied = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

Gebied # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Gebied

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Voor ingewikkelde integralen als deze, kunnen we Simpsons regel gebruiken:

zodat

Gebied

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Oppervlakte = -11,336,804

dit houdt de richting van de omwenteling in, zodat er een negatief oppervlaktegebied of een positief oppervlaktegebied kan zijn. Laten we eens kijken naar de positieve waarde Area = 11336.804 vierkante eenheden