Als je een enkele dobbelsteen werpt, wat is dan het verwachte aantal rollen dat nodig is om elk getal een keer te laten rollen?

Antwoord:

# 14.7 "rolt" #

Uitleg:

#P "alle nummers gegooid" = 1 - P "1,2,3,4,5 of 6 niet gegooid" #

#P "A of B of C of D of E of F" = P A + P B + … + P F - #

#P A en B - P A en C …. + P A en B en C + … #

# "Hier is dit" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Het negatieve hiervan is onze kans." #

#sum n * a ^ (n-1) = som (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) som a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = som n * P "alle getallen gegooid na n worpen" #

# = som n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "We moeten er een aftrekken vanwege de beginvoorwaarde P_1 (0)" #

# "geeft een foute waarde P = 1 voor n = 1." #

# => P = 15.7 - 1 = 14.7 #

Antwoord:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Uitleg:

Zie het als zes minigames. Voor elke game gooien we de dobbelsteen totdat we een nummer rollen dat nog niet is gerold - wat we een 'overwinning' noemen. Dan beginnen we aan het volgende spel.

Laat #X# het aantal rollen zijn dat nodig is om elk nummer minstens één keer te laten rollen (bijvoorbeeld alle 6 minispellen winnen) en te laten # X_i # het aantal rollen zijn dat nodig is om het minigame-nummer te "winnen" #ik# (voor #ik# van 1 tot 6). Dan elk # X_i # is een geometrische willekeurige variabele met verdeling # "Geo" (p_i) #.

De verwachte waarde van elke geometrische willekeurige variabele is # 1 / p_i #.

Voor de eerste game, # p_1 = 6/6 # omdat alle 6 uitkomsten "nieuw" zijn. Dus, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Voor de tweede game zijn 5 van de 6 resultaten nieuw, dus # P_2 = 5/6 #. Dus, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Voor de derde game zijn 4 van de 6 mogelijke rollen nieuw, dus # P_3 = 4/6 #, betekenis # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Op dit punt kunnen we een patroon zien. Aangezien het aantal "winnende" rollen met 1 afneemt voor elke nieuwe game, daalt de kans om elke game te "winnen" #6/6# naar #5/6#, dan #4/6#, enz., wat betekent dat het verwachte aantal rollen per spel van gaat #6/6# naar #6/5#, naar #6/4#, enzovoort, tot de laatste game, waarvan we verwachten dat deze 6 rollen zal nemen om het laatste nummer te krijgen.

Dus:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (wit) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (wit) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (wit) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (wit) ("E" (X)) = 14.7 #