Hoe kan ik dit integreren?

Hoe kan ik dit integreren?
Anonim

Antwoord:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Uitleg:

We willen oplossen

# I = int2 ^ x cos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Laten we het meer algemene probleem proberen

# I_1 inte ^ = (ax) cos (bx) dx #

Waar we de oplossing zoeken

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a + b ^ 2 ^ 2) + C #

De kunst is om de integratie door delen twee keer te gebruiken

# Intudv = uv-intvdu #

Laat # U = e ^ (ax) # en # Dv = cos (bx) dx #

Dan # Du = ae ^ (ax) dx # en # V = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Pas integratie door delen toe op de overgebleven integraal

# I_2 = a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Laat # U = e ^ (ax) # en # Dv = sin (bx) dx #

Dan # Du = ae ^ (ax) dx # en # V = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / te ^ (ax) cos (bx) + a / Binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ ^ 2inte (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Vervang dit in de originele integraal en los het op # I_1 #, het is een beetje lang, maar we doen het stap voor stap

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (A ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a + b ^ 2 ^ 2) (1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a + b ^ 2 ^ 2) (be ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a + b ^ 2 ^ 2) + C #

Voor jouw probleem # A = ln (2) # en # B = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Hopelijk zijn er niet teveel fouten

Zie het antwoord hieronder: we hebben opgelost met behulp van afzonderlijke elementen in plaats van een algemene formulering en we hebben het eindresultaat niet vereenvoudigd, als volgt: