Laten we beginnen met de functie zonder # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Deze functie heeft zeker # X = 0 # als root, aangezien we rekening hielden #X#.
De andere wortels zijn oplossingen van # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, maar deze parabool heeft geen wortels. Dit betekent dat het oorspronkelijke polynoom slechts één wortel heeft.
Nu, een polynoom #p (x) # van vreemde graden heeft altijd ten minste één oplossing, omdat je dat hebt
#lim_ {x to infty} p (x) = - infty # en #lim_ {x to infty} p (x) = infty #
en #p (x) # is continu, dus het moet de #X# as op een bepaald punt.
Het antwoord komt uit de volgende twee resultaten:
- Een polynoom van graad # N # heeft precies # N # complexe wortels, maar hooguit # N # echte wortels
- Gezien de grafiek van #f (x) #, de grafiek van #f (x) + k # heeft dezelfde vorm, maar is verticaal vertaald (naar boven als #k> 0 #naar beneden, anders).
Dus we vertrekken van # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, dat slechts één echte wortel heeft (en dus twee complexe wortels) en we transformeren het naar # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, wat betekent dat we het naar boven of naar beneden vertalen, dus we veranderen het aantal oplossingen niet.
Een paar voorbeelden:
Originele functie: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
grafiek {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Vertaal omhoog: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
grafiek {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Vertalen naar beneden: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
grafiek {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Zoals je kunt zien, is er altijd één root
Antwoord:
Zie hieronder
Uitleg:
Een alternatieve, misschien elegantere oplossing:
de afgeleide van je polynoom is # 3x ^ 2-4x + 2 #, dat is een parabool concave zonder wortels, en dus altijd positief. Zo, # F # is:
- Monotoon toeneemt
- #lim_ {x pm infty } f (x) = pm infty #
- # "°" (f) = 3 #
De eerste twee punten laten dat zien # F # heeft precies één wortel en de derde dat de andere twee wortels complex zijn.
