Hoe vind je de afgeleide van y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Antwoord:

# Dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Uitleg:

Gebruik de productregel:

Als # Y = f (x) g (x) #, dan

# Dy / dx = f '(x) g (x) + g (x) f (x) #

Zo, #f (x) = sin ^ 2x #

#G (x) = cos ^ 2x #

Gebruik de kettingregel om beide derivaten te vinden:

Herhaal dat # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

#f '(x) = 2sinxd / dx (SiNx) = 2sinxcosx #

#G '(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx #

Dus, # Dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Er is de identiteit die # 2sinxcosx = sin2x #, maar die identiteit is meer verwarrend dan nuttig bij het vereenvoudigen van antwoorden.

Antwoord:

Er is iets dat het antwoord veel eenvoudiger te vinden maakt.

Uitleg:

Je kunt je dat ook herinneren #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, vandaar een nieuwe uitdrukking van de functie.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2x) / 4 # dat is een stuk gemakkelijker af te leiden (1 vierkant in plaats van 2).

De afgeleide van # U ^ n # is # N * u'u ^ (n-1) # en de afgeleide van #sin (2x) # is # 2cos (2x) #

Zo #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

Het voordeel van die trigonometrische identiteiten is dat natuurkundigen elk stukje informatie kunnen vinden in de golf die deze functie vertegenwoordigt. Ze zijn ook erg handig als je primitieven van trigonometrische functies moet vinden.