De polynoom van graad 5, P (x) heeft voorloopcoëfficiënt 1, heeft wortels van multipliciteit 2 op x = 1 en x = 0, en een wortel van veelvoud 1 op x = -3, hoe vindt u een mogelijke formule voor P (X)?

Antwoord:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Uitleg:

Elke wortel komt overeen met een lineaire factor, dus we kunnen schrijven:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = X ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Elke polynoom met deze nullen en op zijn minst deze veelvouden zijn een veelvoud (scalair of polynoom) van deze #P (x) #

Voetnoot

Strikt genomen, een waarde van #X# dat resulteert in #P (x) = 0 # wordt een a genoemd wortel van #P (x) = 0 # of a nul van #P (x) #. Dus de vraag had eigenlijk over de nullen van #P (x) # of over de wortels van #P (x) = 0 #.

Het polynoom van graad 4, P (x) heeft een wortel van multipliciteit 2 bij x = 3 en wortels van multipliciteit 1 bij x = 0 en x = -3. Het gaat door het punt (5,112). Hoe vind je een formule voor P (x)?

Een polynoom van graad 4 heeft de wortelvorm: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Vervang in de waarden voor de wortels en gebruik dan het punt om de waarde te vinden van k. Vervangen door de waarden voor de wortels: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Gebruik het punt (5,112) om de waarde van k: 112 = k te vinden (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 De wortel van het polynoom is: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Het polynoom van graad 5, P (x) heeft voorloopcoëfficiënt 1, wortels van multipliciteit 2 bij x = 1 en x = 0, en een wortel van veelvoud 1 bij x = -1 Zoekt een mogelijke formule voor P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Gegeven dat we een root hebben van multipliciteit 2 op x = 1, weten we dat P (x) een factor (x-1) heeft ^ 2 Aangezien we een root hebben van multipliciteit 2 op x = 0, weten we dat P (x) een factor x ^ 2 heeft. Gegeven dat we een root hebben van multipliciteit 1 op x = -1, weten we dat P (x) heeft een factor x + 1 We krijgen dat P (x) een polynoom van graad 5 is, en daarom hebben we alle vijf de wortels en factoren geïdentificeerd, zodat we P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 En we kunnen dus schrijven P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) We weten ook dat de leidende coëffici&

Het polynoom van graad 5, P (x) heeft voorloopcoëfficiënt 1, wortels van multipliciteit 2 bij x = 3 en x = 0, en een wortel van multipliciteit 1 bij x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "gegeven" x = a "is een wortel van een polynoom dan" (xa) "is een factor van de polynoom" "als" x = een "van multipliciteit 2 dan" (xa) ^ 2 "is een factor van de polynoom" "hier" x = 0 "multipliciteit 2" rArrx ^ 2 "is een factor" "ook" x = 3 "multipliciteit 2" rArr (x-3) ^ 2 "is een factor" "en" x = -1 "multipliciteit 1" rArr (x + 1) "is een factor" "het polynoom is het product van zijn factoren" P (x) = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x