Het polynoom van graad 5, P (x) heeft voorloopcoëfficiënt 1, wortels van multipliciteit 2 bij x = 1 en x = 0, en een wortel van veelvoud 1 bij x = -1 Zoekt een mogelijke formule voor P (x)?

Antwoord:

# P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

Uitleg:

Gegeven dat we een wortel van veelvoud hebben #2# #at x = 1 #, we weten dat #P (x) # heeft een factor # (X-1) ^ 2 #

Gegeven dat we een wortel van veelvoud hebben #2# op # X = 0 #, we weten dat #P (x) # heeft een factor # X ^ 2 #

Gegeven dat we een wortel van veelvoud hebben #1# op # X = -1 #, we weten dat #P (x) # heeft een factor # X + 1 #

Dat krijgen we #P (x) # is een polynoom van graad #5#en we hebben daarom alle vijf de wortels en factoren geïdentificeerd, zodat we kunnen schrijven

# P (x) = 0 => x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) = 0 #

En we kunnen daarom schrijven

# P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

We weten ook dat de leidende coëfficiënt is # 1 => A = 1 #

Vandaar,

# P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

Het polynoom van graad 4, P (x) heeft een wortel van multipliciteit 2 bij x = 3 en wortels van multipliciteit 1 bij x = 0 en x = -3. Het gaat door het punt (5,112). Hoe vind je een formule voor P (x)?

Een polynoom van graad 4 heeft de wortelvorm: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Vervang in de waarden voor de wortels en gebruik dan het punt om de waarde te vinden van k. Vervangen door de waarden voor de wortels: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Gebruik het punt (5,112) om de waarde van k: 112 = k te vinden (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 De wortel van het polynoom is: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

De polynoom van graad 5, P (x) heeft voorloopcoëfficiënt 1, heeft wortels van multipliciteit 2 op x = 1 en x = 0, en een wortel van veelvoud 1 op x = -3, hoe vindt u een mogelijke formule voor P (X)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Elke wortel komt overeen met een lineaire factor, dus we kunnen schrijven: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Elke polynoom met deze nullen en op zijn minst deze veelvouden zijn een multiple (scalar of polynomial) van deze P (x) voetnoot Strikt genomen wordt een waarde van x die resulteert in P (x) = 0 een root van P (x) = 0 of een nul van P (x). Dus de vraag had eigenlijk moeten spreken over de nullen van P (x) of over de wortels van P (x) = 0.

Het polynoom van graad 5, P (x) heeft voorloopcoëfficiënt 1, wortels van multipliciteit 2 bij x = 3 en x = 0, en een wortel van multipliciteit 1 bij x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "gegeven" x = a "is een wortel van een polynoom dan" (xa) "is een factor van de polynoom" "als" x = een "van multipliciteit 2 dan" (xa) ^ 2 "is een factor van de polynoom" "hier" x = 0 "multipliciteit 2" rArrx ^ 2 "is een factor" "ook" x = 3 "multipliciteit 2" rArr (x-3) ^ 2 "is een factor" "en" x = -1 "multipliciteit 1" rArr (x + 1) "is een factor" "het polynoom is het product van zijn factoren" P (x) = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x