Bewijs dat het aantal sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) niet rationeel is voor een natuurlijk getal n groter dan 1?

Antwoord:

Zie uitleg …

Uitleg:

Veronderstellen:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # is rationeel

Dan moet zijn vierkant rationeel zijn, dat wil zeggen:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

en daarom is het ook:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

We kunnen herhaaldelijk kwadrateren en aftrekken om te constateren dat het volgende rationeel moet zijn:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Vandaar # N = k ^ 2 # voor een positief geheel getal #k> 1 # en:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Let daar op:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Vandaar # K ^ 2 + k-1 # is ook niet het kwadraat van een geheel getal en #sqrt (k ^ 2 + k-1) # is irrationeel, in tegenspraak met onze bewering dat #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # is rationeel.

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Ervan uitgaande dat

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # met # P / q # niet-verminderbaar

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

wat absurd is, want volgens dit resultaat is elke vierkantswortel van een positief geheel getal rationeel.