Wat is de integraal van int tan ^ 4x dx?

Antwoord:

# (Tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Uitleg:

Het oplossen van trig antiderivatives houdt meestal in dat de integraal wordt verbroken om Pythagorean Identiteiten toe te passen, en hen met behulp van een # U #substitutie. Dat is precies wat we hier zullen doen.

Begin met herschrijven # Inttan ^ 4xdx # zoals # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Nu kunnen we de Pythagorean-identiteit toepassen # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #of # Tan ^ 2x = s ^ 2x-1 #:

# Inttan 2xtan ^ ^ 2xdx = int (sec ^ 2 x-1) tan ^ 2xdx #

Het verspreiden van de # Tan ^ 2x #:

#color (wit) (XX) = intsec 2xtan ^ ^ ^ 2xtan 2xdx #

De somregel toepassen:

#color (wit) (XX) = intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx #

We zullen deze integralen één voor één evalueren.

Eerste integraal

Deze is opgelost met behulp van een # U #substitutie:

Laat # U = tanx #

# (Du) / dx = sec ^ 2x #

# Du = sec ^ 2xdx #

De vervanging toepassen, #color (wit) (XX) intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = intu ^ 2DU #

#color (wit) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Omdat # U = tanx #, # Intsec 2xtan ^ ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Tweede integraal

Omdat we niet echt weten wat # Inttan ^ 2xdx # is door het gewoon te bekijken, probeer het toe te passen # Tan ^ 2 = s ^ 2x-1 # identiteit opnieuw:

# Inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2 x-1) dx #

Met behulp van de somregel komt de integraal neer op:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

De eerste hiervan, # Intsec ^ 2xdx #, is gewoon # Tanx + C #. De tweede, de zogenaamde "perfecte integraal", is eenvoudig # X + C #. Alles bij elkaar kunnen we zeggen:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

En omdat # C + C # is gewoon een andere willekeurige constante, we kunnen het combineren tot een algemene constante # C #:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Als we de twee resultaten combineren, hebben we:

# Inttan 4xdx ^ = ^ intsec 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Nogmaals, omdat # C + C # is een constante, we kunnen ze samenvoegen # C #.