Wat is de integraal van int tan ^ 5 (x)?

Antwoord:

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Uitleg:

#int tan ^ (5) (x) dx #

Wetende het feit dat # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #, we kunnen het herschrijven als

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, wat opbrengt

#int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Eerste integraal:

Laat # u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Tweede integraal:

Laat #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

daarom

#int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx #

Merk ook op dat #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, aldus ons gevend

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

Het substitueren # U # terug in de uitdrukking geeft ons ons eindresultaat van

# 1 / 4sec ^ (4) (x) -Annuleer (2) * (1 / annuleren (2)) s ^ (2) (x) + ln | s (x) | + C #

Dus

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Wat is de integraal van int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Ons grootste probleem in deze integraal is de wortel, dus we willen er vanaf. We kunnen dit doen door een substitutie u = sqrt (2x-1) te introduceren. Het afgeleide is dan (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Dus we verdelen door (en onthouden, delen door een reciproque is hetzelfde als vermenigvuldigen met alleen de noemer) om te integreren met betrekking tot u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nu hoeven we alleen de x ^ 2 in termen van u uit te drukken (omdat

Wat is de integraal van int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Oplossen van trig antiderivatives houdt meestal in dat de integraal wordt verbroken om Pythagorean Identities toe te passen, en hen met behulp van een u-substitutie. Dat is precies wat we hier zullen doen. Begin met het herschrijven van inttan ^ 4xdx als inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Nu kunnen we de Pythagorean Identity gebruiken tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x, of tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Distributing the tan ^ 2x : kleur (wit) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx De somregel toepassen: kleur (wit) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx We zullen deze int

Hoe evalueer je de definitieve integraal int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) van [0, pi / 4]?

Pi / 4 Merk op dat vanaf de tweede Pythagorische identiteit dat 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Dit betekent dat de breuk gelijk is aan 1 en dit ons de vrij eenvoudige integraal van int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4