Als een steen op een hoogte van 174,9 m van een helikopter valt die stijgt met een snelheid van 20,68 m / s, hoe lang duurt het voordat de steen de grond bereikt?

Antwoord:

8,45 seconden.

Uitleg:

De richting van 'g' als het over versnelling gaat, is afhankelijk van het coördinatensysteem dat we definiëren. Als u bijvoorbeeld naar beneden de positieve 'y' zou definiëren, zou g positief zijn. Conventie zal als positief stijgen, dus g zal negatief zijn. Dit is wat we zullen gebruiken, ook nemen we de grond als #y = 0 #

#color (rood) ("EDIT:") # Ik heb een benadering toegevoegd met behulp van de kinematische vergelijkingen die je onderaan al vroeg leert. Het enige dat ik hier heb gedaan, is het afleiden van calculus, maar ik waardeer dat je het misschien niet hebt behandeld.Blader omlaag naar de rode titel voor de niet-calculusbenadering.

We kunnen dit veel nauwkeuriger bekijken door helemaal opnieuw te beginnen met de tweede wet van Newton. Wanneer de steen valt, heeft deze een beginsnelheid maar de enige kracht die erop werkt is te wijten aan de zwaartekracht. We hebben naar boven gedefinieerd als de positieve y-richting, dus door de tweede wet van Newton die we kunnen schrijven

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Dit komt omdat de steen zal versnellen naar de aarde, die we hebben gedefinieerd als de negatieve richting.

Het integreren van deze uitdrukking geeft:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # is de snelheid van de steen, dus wanneer we de beginsnelheid toepassen op #y '(0) = + 20.68 # we komen aan

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20.68 - g t #

Dit modelleert de snelheid en is logisch als je erover nadenkt. Wanneer het wordt vrijgegeven, heeft het dezelfde snelheid als de helikopter en zal dus een tijdje omhoog gaan, maar naarmate de tijd voortschrijdt, zal het stoppen en dan beginnen te vallen.

Om verplaatsing te vinden, integreren we opnieuw:

#y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Eerste voorwaarde toepassen # y (0) = 174.9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#Daarom y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174.9 #

Om op te lossen voor de tijd om de grond te bereiken, instellen # Y = 0 # en los het kwadratische op:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20.68t - 174.9 = 0 #

Dit is zeker een taak voor de kwadratische formule:

#t = (20.68 + -sqrt (20.68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

Nemen #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 of -4.23 #

We negeren de negatieve oplossing zodat de steen 8,45 seconden nodig heeft om de grond te raken.

#color (rood) ("Geen calculatiebenadering") #

We weten dat #v = v_0 + bij # waar # V # is de eindsnelheid, # V_0 # is de beginsnelheid, #een# is versnelling en # T # is de tijd waarop het wordt aangevraagd.

Zoals ik al eerder zei, met een opwaarts coördinatensysteem # G # zal negatief zijn maar de steen zal aanvankelijk omhoog bewegen vanwege zijn initiële snelheid. We willen het punt vinden waarop het stopt met omhoog bewegen:

set #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Gebruik nu

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # opnieuw met #a = -g #

zo #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20.68) ^ 2 / 9.8 - (20.68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21.8m #

Dit betekent dat de steen even stopt #y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196.7m #

Nu hebben we geen vervelende beginsnelheden om mee te kampen, alleen een rechte val van deze hoogte:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Omdat naar boven positief is, zal vallen resulteren in een negatieve verplaatsing dus

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8.45 # zoals gevraagd.

Antwoord:

8.45s

Uitleg:

De helikopter drijft met een snelheid # U = 20.68m / s # Dus de steen die eruit valt zal dezelfde initiële snelheid hebben als de oplopende snelheid van de helikopter, maar de neerwaartse zwaartekracht zal hem een neerwaartse versnelling geven (g).

Gezien het punt om de steen uit de helikopter als herkomst te laten vallen, gaan we als volgt te werk

Als omhoog initiële snelheid worden genomen positief dan neerwaartse versnelling (g) moet worden genomen als negatief en neerwaartse verplaatsing (h) moet ook worden overwogen negatief.

#color (rood) ("Hier omhoog + ve en omlaag - v") #

Nu berekening van tijd (t) om grond te bereiken

Dus we hebben

# u = + 20,68 m / s #

# G = -9.8m / s ^ 2 #

# H = -174.9m #

#t = #

Deze invoegen in bewegingsvergelijking onder zwaartekracht (bestaande uit de variabelen h, u, g, t) we krijgen

# H = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174,9 = 0 #

# => T = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4.9) #

#:. t = 8.45s #

Dezelfde vergelijking (1) wordt verkregen als we de richting omkeren#color (rood) ("dus omhoog - ive en downward + ive.") #