Hoe vind je de limiet van [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] als x naar 0 gaat?

Antwoord:

Voer een aantal geconjugeerde vermenigvuldiging uit en vereenvoudig om te krijgen #lim_ (x-> 0) (SiNx * sin ^ 2 x) / (1-cosx) = 0 #

Uitleg:

Directe substitutie levert een onbepaalde vorm op #0/0#, dus we zullen iets anders moeten proberen.

Probeer te vermenigvuldigen # (SiNx * sin ^ 2 x) / (1-cosx) # door # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (SiNx * sin ^ 2 x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2 x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2 x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Deze techniek staat bekend als geconjugeerde vermenigvuldiging, en het werkt bijna elke keer. Het idee is om het verschil in de eigenschap squares te gebruiken # (A-b) (a + b) = a ^ 2 B ^ 2 # om de teller of noemer (in dit geval de noemer) te vereenvoudigen.

Herhaal dat # ^ Sin 2x + cos ^ 2x = 1 #of # ^ Sin 2x = 1-cos ^ 2x #. We kunnen daarom de noemer vervangen, wat wel zo is # 1-cos ^ 2x #, met # Sin ^ 2x #:

# ((SiNx) (^ sin 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Nu de # Sin ^ 2x # annuleert:

# ((SiNx) (annuleren (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (annuleren (sin ^ 2x)) #

# = (SiNx) (1 + cosx) #

Eindig door de limiet van deze uitdrukking te nemen:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (x-> 0) (SiNx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#