Antwoord:
# f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Uitleg:
Laat #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Laten we aannemen dat we te maken hebben met echte waarden en daarom met de echte natuurlijke logaritme.
Dan zijn we gedwongen om #x> 0 # opdat #ln (5x) # worden gedefinieerd.
Voor enige #x> 0 # beide termen zijn goed gedefinieerd en dus #f (x) # is een goed gedefinieerde functie met domein # (0, oo) #.
Let daar op # 3LN (5) # en # X ^ 3 # zijn beide strikt monotoon toenemend op dit domein, dus onze functie is ook en is één-op-één.
Voor kleine positieve waarden van #X#, de voorwaarde # X ^ 3 # is klein en positief en de term # 3LN (5x) # is willekeurig groot en negatief.
Voor grote positieve waarden van #X#, de voorwaarde # 3LN (5x) # is positief en de term # X ^ 3 # is willekeurig groot en positief.
Omdat de functie ook continu is, is het bereik # (- oo, oo) #
Dus voor elke waarde van #y in (-oo, oo) # er is een unieke waarde van #x in (0, oo) # zoals dat #f (x) = y #.
Dit definieert onze inverse functie:
# f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Dat is #F ^ (- 1) (y) # is de waarde van #X# zoals dat #f (x) = y #.
We hebben (informeel) laten zien dat dit bestaat, maar er is geen algebraïsche oplossing voor #X# aangaande met # Y #.
De grafiek van #F ^ (- 1) (y) # is de grafiek van #f (x) # weerspiegeld in de regel # Y = x #.
In set notatie:
#f = {(x, y) in (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
# f ^ (- 1) = {(x, y) in RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
