Laten zijn N het kleinste gehele getal met 378 delers. Als N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, wat is de waarde van {a, b, c, d} in NN?

Antwoord:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #

Uitleg:

Gegeven een nummer # N # met prime-ontbinding #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, elke deler van # N # is van de vorm # P_1 ^ (beta_1) P_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # waar #beta_i in {0, 1, …, alpha_i} #. Zoals er zijn # Alpha_i + 1 # keuzes voor elk # Beta_i #, het aantal delers van # N # is gegeven door

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Zoals # N = 2 ^ axx3 bxx5 ^ ^ ^ d cxx7 #, het aantal delers van # N # is gegeven door # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Ons doel is dus om te vinden # (a, b, c, d) # zodanig dat het bovengenoemde product geldt en # 2 ^ axx3 bxx5 ^ ^ ^ d cxx7 # is minimaal. Aangezien we het minimaliseren, zullen we vanaf dit moment aannemen dat #a> = b> c => = d # (als dit niet het geval was, zouden we exponenten kunnen ruilen om een mindere uitkomst te krijgen met hetzelfde aantal delers).

Opmerken dat # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, we kunnen de mogelijke gevallen bekijken waarin #378# is geschreven als een product van vier gehele getallen # k_1, k_2, k_3, k_4 #. We kunnen deze inspecteren om te zien waarvoor het minste resultaat wordt behaald # N #.

Formaat: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (rood) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

We kunnen hier stoppen, omdat er in sommige gevallen nog wat gevallen zijn #k_i> = 27 #, geven # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, dat is al groter dan ons beste geval.

Door het bovenstaande werk dan, de # (a, b, c, d) # die een minimum produceert # N # met #378# delers is # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, geven #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #