Wat is het domein en bereik van f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Antwoord:

Het domein is # RR # (alle echte cijfers) en het bereik is # 5-sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #

(alle echte cijfers tussen en inclusief # (5-sqrt (61)) / 72 # en # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Uitleg:

In het domein beginnen we met alle reële getallen en verwijderen we alle getallen die ons zouden dwingen de vierkantswortel van een negatief getal te hebben, of een #0# in de noemer van een breuk.

In één oogopslag weten we dat als # x ^ 2> = 0 # voor alle echte nummers, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Dus de noemer zal dat niet zijn #0# voor elk reëel getal #X#, wat betekent dat het domein elk reëel getal bevat.

Voor het bereik is de eenvoudigste manier om de bovenstaande waarden te vinden enkele basisberekeningen. Hoewel het langer is, is het ook mogelijk om ze te vinden met alleen algebra, echter met de hieronder beschreven methode.

Beginnend met de functie #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # we willen alle mogelijke waarden vinden van #f (x) #. Dit komt overeen met het vinden van het domein van de inverse functie # F ^ -1 (x) # (een functie met de eigenschap # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Helaas is de inverse van #f (x) # in dit geval is dit geen functie, omdat deze 2 waarden retourneert, maar het idee is nog steeds hetzelfde. We zullen beginnen met de vergelijking #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # en oplossen voor #X# om het omgekeerde te vinden. Vervolgens zullen we kijken naar de mogelijke waarden van # Y # om het domein van het inverse, en dus het bereik van de oorspronkelijke functie te vinden.

Oplossen voor #X#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Het behandelen # Y # als constante passen we de kwadratische formule toe

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

verkrijgen

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

We moeten nu het domein van de bovenstaande uitdrukking vinden (merk op dat het geen functie is vanwege de #+-#). Merk op dat door te delen door # Y # in de kwadratische formule verloren we de mogelijkheid van # Y = 0 #, wat duidelijk mogelijk is in de oorspronkelijke vergelijking (voor #x = -5 #). Dus zullen we de # Y # in de noemer van de inverse en alleen focus op de vierkantswortel.

Zoals eerder vermeld, laten we de vierkantswortel van een waarde kleiner dan 0 niet toe, en daarom hebben we de beperking

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

De kwadratische formule gebruiken # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # we vinden, na enige vereenvoudiging, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Ten slotte kunnen we dat als volgt zeggen # | Y | # groeit groot, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # zal minder zijn dan #0#. We houden dus alleen rekening met het interval tussen

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # en #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Dus de toegestane waarden voor # Y #, en dus het bereik voor #f (x) #, is

# 5-sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #

Het domein van f (x) is de verzameling van alle reële waarden behalve 7 en het domein van g (x) is de verzameling van alle reële waarden behalve van -3. Wat is het domein van (g * f) (x)?

Alle reële getallen behalve 7 en -3 wanneer je twee functies vermenigvuldigt, wat doen we? we nemen de f (x) -waarde en vermenigvuldigen deze met de g (x) -waarde, waarbij x hetzelfde moet zijn. Beide functies hebben echter beperkingen, 7 en -3, dus het product van de twee functies moet * beide * beperkingen hebben. Meestal als bewerkingen op functies hebben, als de vorige functies (f (x) en g (x)) beperkingen hadden, worden ze altijd genomen als onderdeel van de nieuwe beperking van de nieuwe functie of hun werking. Je kunt dit ook visualiseren door twee rationale functies te maken met verschillende beperkte waarden,

Laat het domein van f (x) [-2.3] zijn en het bereik is [0,6]. Wat is het domein en bereik van f (-x)?

Het domein is het interval [-3, 2]. Het bereik is het interval [0, 6]. Precies zoals het is, is dit geen functie, omdat het domein slechts het getal -2.3 is, terwijl het bereik een interval is. Maar in de veronderstelling dat dit slechts een typfout is, en het werkelijke domein het interval [-2, 3] is, is dit als volgt: Laat g (x) = f (-x). Aangezien f zijn onafhankelijke variabele vereist om alleen waarden in het interval [-2, 3] te nemen, moet -x (negatief x) zich binnen [-3, 2] bevinden, wat het domein van g is. Aangezien g zijn waarde verkrijgt via functie f, blijft het bereik hetzelfde, ongeacht wat we als de onafhank

Als f (x) = 3x ^ 2 en g (x) = (x-9) / (x + 1) en x! = - 1, wat is dan f (g (x)) gelijk? g (f (x))? f ^ -1 (x)? Wat zouden het domein, het bereik en de nullen voor f (x) zijn? Wat zouden het domein, het bereik en de nullen voor g (x) zijn?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = wortel () (x / 3) D_f = {x in RR}, R_f = {f (x) in RR; f (x)> = 0} D_g = {x in RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) in RR; g (x)! = 1}