Hoe int x / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx te integreren met behulp van trigonometrische substitutie?

Antwoord:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20 e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Uitleg:

De oplossing is een beetje lang !!!

Van het gegeven #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Let op dat # I = sqrt (-1) # het imaginaire nummer

Leg dat complexe getal een tijdje opzij en ga door naar de integraal

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

door het vierkant te voltooien en een groepering te doen:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Eerste trigonometrische substitutie: ##

De scherpe hoek # W # met de andere kant tegenover # = E ^ x + 10 # en aangrenzende zijde #=1# met hypotenusa =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Laat # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

en dan

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

De integraal wordt

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

van trigonometrie #sec w = 1 / cos w # en #tan w = sin w / cos w #

De integraal wordt

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # en

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Tweede trigonometrische substitutie:

Laat # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

en ook # z = tan (w / 2) #

De juiste driehoek: de scherpe hoek # W / 2 # met de andere kant # = z #

Aangrenzende zijde #=1# en hypotenusa # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

From Trigonometry: Herhalende halve-hoekformules

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

oplossen voor #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Gebruik ook de identiteit #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

het volgt dat

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

de integraal wordt

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

De integrale resultaten vereenvoudigen

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Door het vierkant in te vullen:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Gebruik nu de formule #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Laat # U = z + 1/10 # en # A = sqrt101 / 10 # en inclusief de # I = sqrt (-1) #

Schrijf het laatste antwoord met behulp van originele variabelen

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20 e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #