Vraag # 4e56f

Antwoord:

# INTX 2dx ^ x ^ = 3/3 + C #

Uitleg:

Het integreren van elke kracht van #X# (zoals # X ^ 2 #, # X ^ 3 #, # X ^ 4 #, enzovoort) is relatief eenvoudig: het wordt gedaan met behulp van de regel omkeren.

Recall uit differentiaalrekenen dat de afgeleide van een functie zoals # X ^ 2 # kan worden gevonden met behulp van een handige snelkoppeling. Eerst breng je de exponent naar voren:

# 2x ^ 2 #

en dan verlaag je de exponent met één:

# 2x ^ (2-1) = 2x #

Omdat integratie in wezen het tegenovergestelde is van differentiatie, integrerende vermogens van #X# zou het tegenovergestelde moeten zijn van het afleiden ervan. Laten we, om dit duidelijker te maken, de stappen voor differentiatie opschrijven # X ^ 2 #:

1. Breng de exponent naar voren en vermenigvuldig deze met #X#.

2. Verlaag de exponent met één.

Laten we nu eens nadenken over hoe dit in omgekeerde volgorde moet worden gedaan (omdat integratie omgekeerde differentiatie is). We moeten achteruit gaan, te beginnen bij stap 2. En omdat we het proces omkeren, in plaats van afnemende de exponent door #1#, we moeten toenemen de exponent door #1#. En daarna, in plaats van vermenigvuldigen door de exponent, we moeten verdelen door de exponent. Onze stappen zijn dus:

1. Verhoog het vermogen met #1#.

2. Deel door de nieuwe macht.

Daarom, als we moeten integreren # X ^ 2 #, we vergroten de kracht met #1#:

# X ^ 3 #

En deel door de nieuwe macht:

# ^ X 3/3 #

Het enige dat overblijft is om een constante integratie toe te voegen # C # (wat na elke integratie wordt gedaan) en je bent klaar:

# INTX 2dx ^ x ^ = 3/3 + C #