Op welke intervallen is de volgende vergelijking concaaf omhoog, hol omlaag en waar het buigpunt is (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Antwoord:

• als # 0 <x <e ^ (- 15/56) # dan # F # is hol naar beneden;
• als #x> e ^ (- 15/56) # dan # F # is hol omhoog;
• # X = e ^ (- 15/56) # is een (dalend) buigpunt

Uitleg:

Analyse van concaviteit en buigpunten van een tweevoudig differentieerbare functie # F #, we kunnen de positiviteit van de tweede afgeleide bestuderen. In feite, als # X_0 # is een punt in het domein van # F #, dan:

• als #f '' (x_0)> 0 #, dan # F # is hol omhoog in een buurt van # X_0 #;
• als #f '' (x_0) <0 #, dan # F # is hol naar beneden in een buurt van # X_0 #;
• als #f '' (x_0) = 0 # en het teken van #f '' # op een voldoende kleine rechts-buurt van # X_0 # is tegengesteld aan het teken #f '' # op een voldoende kleine linkerbuurt van # X_0 #, dan # X = x_0 # wordt een buigpunt van # F #.

In het specifieke geval van #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, we hebben een functie waarvan het domein moet worden beperkt tot de positieve realen #RR ^ + #.

De eerste afgeleide is

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

De tweede afgeleide is

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Laten we de positiviteit van bestuderen #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Dus, gezien het feit dat het domein is #RR ^ + #, we snappen dat

• als # 0 <x <e ^ (- 15/56) # dan #f '' (x) <0 # en # F # is hol naar beneden;
• als #x> e ^ (- 15/56) # dan #f '' (x)> 0 # en # F # is hol omhoog;
• als # X = e ^ (- 15/56) # dan #f '' (x) = 0 #. Gezien dat links van dit punt #f '' # is negatief en aan de rechterkant is het positief, concluderen we dat # X = e ^ (- 15/56) # is een (dalend) buigpunt