# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # is van de vorm # Y ^ 2-2y + 1 # waar #y = x ^ 3 #.
Deze kwadratische formule in # Y # factoren als volgt:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Zo # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Zo # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # heeft geen lineaire factoren met reële coëfficiënten. Om deze melding te controleren dat deze van het formulier is # ax ^ 2 + bx + c #, wat discriminerend is:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Negatief zijn, de vergelijking # x ^ 2 + x + 1 = 0 # heeft geen echte wortels.
Een manier om het antwoord te controleren, is om een waarde te vervangen door #X# dat is geen wortel aan beide kanten en kijk of we hetzelfde resultaat krijgen:
Proberen # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Vergelijken:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Nou dat werkte!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # is vrij gemakkelijk te factor, omdat het een perfect vierkant is. Hoe weet ik dit? Het is een trinominiaal in de vorm # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #en alle trinomialen in die vorm zijn perfecte vierkanten.
Deze trinominale is het perfecte vierkant van # (x ^ 3 - 1) #. Om mijn werk te controleren, zal ik achteruit werken:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Deze trinominiaal heeft dus factoren van #1#, # x ^ 3 - 1 #, en # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Zoals echter is opgemerkt, # (x ^ 3 - 1) # heeft ook factoren. Omdat het een binomiaal van de vorm is # a ^ 3 - b ^ 3 #, het kan ook als worden geschreven # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Zo, # (x ^ 3 - 1) # factoren in # (x - 1) # en # (x ^ 2 + x + 1) #, die beide prime zijn.
De factoren van # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # zijn:
#1#
# X-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Meer specifiek, de PRIME-factorisatie van # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # is:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
