Waarom moeten we "combinaties van n dingen genomen x per keer" gebruiken wanneer we binomiale kansen berekenen?

Waarom moeten we "combinaties van n dingen genomen x per keer" gebruiken wanneer we binomiale kansen berekenen?
Anonim

Antwoord:

Zie hieronder mijn gedachten:

Uitleg:

De algemene vorm voor een binomiale waarschijnlijkheid is:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

De vraag is: waarom hebben we die eerste termijn nodig, de combinatieterm?

Laten we een voorbeeld geven en dan zal het duidelijk worden.

Laten we eens naar de binomiale kans kijken om een munt 3 keer om te draaien. Laten we stellen dat hoofden worden # P # en geen hoofden te krijgen # ~ P # (beide #=1/2)#.

Wanneer we het sommatieproces doorlopen, zullen de 4 termen van de sommatie gelijk zijn aan 1 (in wezen vinden we alle mogelijke uitkomsten en dus is de waarschijnlijkheid van alle uitkomsten samengevat 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = (rood) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + kleur (blauw) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Laten we het hebben over de rode term en de blauwe term.

De rode term beschrijft de resultaten van het krijgen van 3 staarten. Er is maar 1 manier om dat te bereiken, en dus hebben we een combinatie die gelijk is aan 1.

Merk op dat de laatste term, degene die alle hoofden beschrijft, ook een combinatie heeft die gelijk is aan 1, omdat er opnieuw slechts één manier is om dit te bereiken.

De blauwe term beschrijft de resultaten van het krijgen van 2 staarten en 1 hoofd. Er zijn 3 manieren om dit te doen: TTH, THT, HTT. En dus hebben we een combinatie die gelijk is aan 3.

Merk op dat de derde term beschrijft het krijgen van 1 staarten en 2 koppen en opnieuw zijn er 3 manieren om dat te bereiken en dus is de combinatie gelijk aan 3.

In feite moeten we bij elke binomiale verdeling de waarschijnlijkheid vinden van een enkele soort gebeurtenis, zoals de kans op het bereiken van 2 hoofden en 1 staart, en deze vervolgens vermenigvuldigen met het aantal manieren waarop dit kan worden bereikt. Omdat we ons niet bekommeren om de volgorde waarin de resultaten worden behaald, gebruiken we een combinatieformule (en niet, laten we zeggen, een permutatieformule).