Oplossen van dit met riemann-integraal?

Antwoord:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # of # approx 1.302054638 … #

Uitleg:

De belangrijkste identiteit voor het oplossen van elk probleem met oneindig product is het omzetten in een probleem van oneindige bedragen:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

NADRUK:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Maar voordat we dit kunnen doen, moeten we eerst de # frac {1} {n ^ 2} in de vergelijking behandelen en tussen haakjes het oneindige product L noemen:

# L = lim_ {n tot + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n tot + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n tot + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n tot + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Nu kunnen we dit in een oneindige som omzetten:

# L = lim_ {n tot + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

logaritme eigenschappen toepassen:

# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

En met behulp van limieteigenschappen:

# L = exp lim_ {n tot + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Laten we de oneindige som S noemen:

# S = lim_ {n tot + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

En onthoud dat

# L = exp (S) #

Laten we nu uw vraag oplossen door het om te zetten van een RIEMANN SUM naar een DEFINITE INTEGRAL:

Denk aan de definitie van een Riemann-som is:

NADRUK:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n tot + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Laat

# lim_ {n tot + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Nu, laat # f (x) = ln (1 + x ^ 2) en a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Dus b = 1 d.w.z.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

daarom

# S = lim_ {n tot + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Oplossen voor # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

gebruik integratie door delen:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Laat # u = ln (1 + x ^ 2) en v = 1 #

Gebruik vervolgens de kettingregel en de afgeleide van natuurlijke logaritme om te krijgen # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

en gebruik power rule om te krijgen: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Gebruik aftrekregel:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Gebruik de power rule voor de eerste integraal en de tweede integraal is de standaard trigonometrische functie # arctan (x) # (het omgekeerde van de tangensfunctie)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Dus, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Los nu de definitieve integraal op:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

we weten dat het anti- derivaat is # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Dus

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

merk op dat arctan (1) 45 ° of is # frac { pi} {4} # (herinner aan de speciale rechthoekige driehoek met zijlengtes 1,1, # Sqrt {2} # en hoeken 45 °, 45 °, 90 °) en ook # arctan (0) = 0 #

Dus #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

of # approx 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Daarom is de oplossing # lim_ {n tot + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # of # approx 1.302054638 … #