Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Antwoord:

Er is één extrema op #(3,3,27)#

Wij hebben:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

En dus leiden we de gedeeltelijke afgeleide af:

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = y - 27 / x ^ 2 # en # (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = x - 27 / y ^ 2 #

Op een extrema of zadelpunten hebben we:

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = 0 # en # (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 0 # tegelijkertijd:

d.w.z. een simultane oplossing van:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Het aftrekken van deze vergelijkingen geeft:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

We kunnen elimineren # x = 0; y = 0 # en dus # X = y # is de enige geldige oplossing, die leidt tot:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

En met # X = y = 3 #, wij hebben:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Vandaar dat er slechts één kritisch punt is dat optreedt bij (3,3,27) dat kan worden gezien op deze plot (die het raakvlak omvat)