Wat zijn de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Antwoord:

Er is een lokaal minimum van #0# op #1#. (Wat ook globaal is.) En een lokaal maximum van # 4 / e ^ 2 # op # E ^ 2 #.

Uitleg:

Voor #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, merk eerst op dat het domein van # F # is de positieve reële getallen, # (0, oo) #.

Zoek dan

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# F '# is ongedefinieerd op # X = 0 # wat niet in het domein van is # F #, dus het is geen kritiek getal voor # F #.

#f '(x) = 0 # waar

# Lnx = 0 # # # of # # # 2-lnx = 0 #

# X = 1 # # # of # # # X = e ^ 2 #

Test de intervallen #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, en # (E ^ 2, oo) #.

(Voor testnummers, stel ik voor # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # -- terugroepen # 1 = e ^ 0 # en # E ^ x # neemt toe.)

Dat vinden we # F '# verandert van negatief naar positief als we passeren #1#, dus #f (1) = 0 # is een lokaal minimum,

en dat # F '# verandert van positief naar negatief als we passeren # E ^ 2 #, dus #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # is een lokaal maximum.