Laat S een vierkant van eenheidsgebied zijn. Overweeg een vierhoek die één hoekpunt heeft aan elke kant van S. Als a, b, c en d de lengten van zijden van de vierhoek aanduiden, bewijs dan dat 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Laat # ABCD # een vierkant van eenheidsgebied zijn.

Zo # AB = BC = CD = DA = 1 # eenheid.

Laat # PQRS # een vierhoek zijn met één hoekpunt aan elke kant van het vierkant. Hier laat # PQ = b = c QR, RS = dandSP = a #

Door Pythagoras thorem toe te passen kunnen we schrijven

# A ^ 2 + b ^ 2 + c + d ^ 2 ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x + y ^ 2 ^ 2 ^ 2 + z + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z + w ^ 2 ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Nu door het probleem dat we hebben

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Vandaar

# 2 <= a ^ 2 + b + c ^ 2 ^ 2 ^ 2 + d <= 4 #