Antwoord:
#(-9/14,3/28)#
Uitleg:
We beginnen met # Y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Dit is niet in een standaardvorm of een vertex-vorm en ik werk altijd het liefst met een van deze twee vormen. Dus mijn eerste stap is om die rotzooi om te zetten in standaardformulier. We doen dat door de vergelijking te veranderen totdat het eruit ziet # Y = ax ^ 2 + bx + c #.
Eerst behandelen we # (X + 1) ^ 2 #. We herschrijven het als # (X + 1) * (x + 1) #, en vereenvoudig het gebruik van distributie, wat ons allemaal geeft # X ^ 2 + x + x + 1 #of # X ^ 2 + 2x + 1 #.
Nu hebben we # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Als we het vereenvoudigen # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, dat laat ons achter # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4 x ^ 2 + 3x #. Nu kunnen we dezelfde termen combineren. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # geeft ons # 7x ^ 2 #, en # 6x + 3x # is gelijk aan # 9x #. Nu hebben we # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, die in standaardvorm is. Word echter niet te comfortabel, want we zullen converteren dat in vertexvorm in slechts een minuut.
Om een vertex-formulier op te lossen, gaan we het vierkant voltooien. We zouden ook de kwadratische formule kunnen gebruiken of de vergelijking kunnen berekenen die we nu hebben, maar waar is het plezier in dat? Het voltooien van het vierkant is moeilijker, maar het is een methode die het waard is om te leren, omdat het vrij snel is, als je het eenmaal onder de knie hebt. Laten we beginnen.
Eerst moeten we het krijgen # X ^ 2 # alleen (geen coëfficiënten behalve het nummer #1# toegestaan). In ons geval moeten we factor a #7# van alles. Dat geeft ons # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Vanaf hier moeten we de middellange termijn nemen # (9 / 7x) # en deel de coëfficiënt door #2#, dat is #9/14#. Dan zijn we vierkant dat en we hebben #81/196#. We voegen dat toe aan onze vergelijking, als volgt: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 07/03) #.
WACHT!!! We hebben gewoon een willekeurig getal in de vergelijking gestoken! Dat kunnen we niet doen! Hoe kunnen we dit oplossen? Welnu, wat als we gewoon … het aantal dat we zojuist hebben toegevoegd hebben afgetrokken? Dan is de waarde niet veranderd #(81/196-81/196=0)#, dus we hebben geen regels overtreden, toch? Oké, laten we dat doen.
Nu hebben we # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Oké, we zijn goed nu. Toch moeten we blijven vereenvoudigen, omdat # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # is lang en omslachtig. Zo, #-81/196+3/7# is #3/196#en we kunnen herschrijven # X ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # zoals # (X + 14/09) * (x + 14/09) #of # (X + 14/09) ^ 2 #. Je vraagt je misschien af waarom ik het niet combineerde #3/196# met #81/196#. Nou, ik wil een perfect vierkant maken, zoals # (X + 14/09) ^ 2 #. Dat is eigenlijk het hele punt van het voltooien van het vierkant. # X ^ 2 + 9/7 + 3/7 # was niet factorbaar, dus ik vond het getal ((9/2) / 2 ^ 2) dat het een factoratief maakt. Nu hebben we een perfect vierkant, met de ongemakkelijke, onvolmaakte spullen aan het einde geplakt.
Dus dat hebben we nu # 7 ((x + 14/09) ^ 2 + 3/196) #. We zijn bijna klaar, maar we kunnen nog een ding doen: de #7# naar #3/196#. Dat geeft ons # 7 (x + 14/09) ^ 2 + 3/28 #en we hebben nu onze vertex! Van # 7 (x + kleur (groen) (9/14)) ^ 2color (rood) (+ 3/28) #, we krijgen allebei onze #color (groen) (x) #-waarde en onze #color (rood) (y) #-waarde. Onze vertex is # (kleur (oranje) (-) kleur (groen) (9/14), kleur (rood) (3/28)) #. Merk op dat het teken van de #color (groen) (x) # component is tegenover van het teken in de vergelijking.
Om ons werk te controleren, kunnen we gewoon de vergelijking in kaart brengen en de vertex op die manier vinden.
{grafiek y = 7x ^ 2 + 3 + 9x}
De top is #(.643,.107)#, wat de afgeronde decimale vorm is van #(-9/14, 3/28)#. We hadden gelijk! Goed werk.
