We hebben x @ y = ax + ay-xy, x, y in RR en a is een echte parameter. Waarden van a waarvoor [0,1] stabiel onderdeel is van (RR, @)?

Antwoord:

#a in 1/2, 1 # of #a = 1 # als we willen #@# in kaart brengen # 0, 1 xx 0, 1 # naar #0, 1#.

Uitleg:

Gegeven:

#x @ y = ax + ay-xy #

Als ik de vraag goed begrijp, willen we de waarden bepalen van #een# waarvoor:

#x, y in 0, 1 rarr x @ y in 0, 1 #

We vinden:

# 1 @ 1 = 2a-1 in 0, 1 #

Vandaar #a in 1/2, 1 #

Let daar op:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # en # "" del / (del y) x @ y = a-x #

Vandaar de maximum- en / of minimumwaarden van #x @ y # wanneer #x, y in 0, 1 # zal optreden wanneer #x, y in {0, a, 1} #

Veronderstellen #a in 1/2, 1 #

We vinden:

# 0 @ 0 = 0 in 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 in 0, 1 #

# 0 @ 1 = 1 @ 0 = a in 0, 1 #

#a @ a = a ^ 2 in 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 in 0, 1 #

# 1 @ 1 = 2a-1 in 0, 1 #

Dus de gegeven voorwaarde is zowel noodzakelijk als voldoende.

Bovendien, als we willen #x @ y # om op te zijn #0, 1# dan hebben we nodig # A = 1 #.