De grootste zijde van een rechthoekige driehoek is een ^ 2 + b ^ 2 en de andere kant is 2ab. Met welke voorwaarde wordt de derde zijde de kleinste kant?

Antwoord:

Om de derde zijde de kortste te zijn, hebben we dat nodig # (1 + sqrt2) | b |> ABSA> absb # (en dat #een# en # B # hetzelfde teken hebben).

Uitleg:

De langste zijde van een rechthoekige driehoek is altijd de hypotenusa. Dus we weten hoe lang de hypotenusa is # A ^ 2 + b ^ 2. #

Laat de onbekende kantlengte zijn # C. # Van de stelling van Pythagoras weten we dat

# (2AB) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

of

# C = sqrt ((a + b ^ 2 ^ 2) ^ 2- (2 bis) ^ 2) #

#color (wit) c = sqrt (4 + a ^ 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a 2b ^ ^ 2) #

#color (wit) c = sqrt (a ^ ^ 4-2a 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#color (wit) c = sqrt ((a ^ 2 B ^ 2) ^ 2) #

#color (wit) c = a ^ 2 B ^ 2 #

We eisen ook dat alle lengtes positief zijn, dus

• # A ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 of b! = 0 #

• # 2AB> 0 #

  # => a, b> 0 of a, b <0 #

• # C = a ^ 2 B ^ 2> 0 #

  # <=> A ^ 2> b ^ 2 #

  # <=> ABSA> absb #

Nu voor ieder driehoek, de langste zijde moet korter zijn dan de som van de andere twee kanten. Dus we hebben:

#color (white) (=>) 2ab + "" c kleur (wit) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 ab + (a ^ 2 B ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab kleur (wit) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," if b> 0), (a <b "," if b <0):} #

Verder is de derde partij het kleinst, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

of # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # of # a-b <sqrt2b # of #a <b (1 + sqrt2) #

Door al deze beperkingen te combineren, kunnen we daaruit afleiden dat de derde partij de kortste is, en dat moeten we hebben # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb en (a, b <0 of a, b> 0). #