Wat is int 16sin ^ 2 xcos ^ 2 x dx?

Antwoord:

# 2x - sin (4x) / 2 + k # met #k in RR #.

Uitleg:

We moeten een paar formules onthouden. Hier hebben we behoefte aan # 2sin (theta) cos (theta) = sin (2theta) #. We kunnen het gemakkelijk laten lijken omdat we te maken hebben met de vierkanten van #sin (x) # en #cos (x) # en we vermenigvuldigen ze met een even getal.

# 16sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = 4 (4cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x)) = 4 (2sin (x) cos (x)) ^ 2 = 4 (sin (2x)) ^ 2 #.

Zo # int16sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) dx = 4intsin ^ 2 (2x) dx #.

En dat weten we # sin ^ 2 (theta) = (1-cos (2theta)) / 2 # omdat #cos (2theta) = 1-2sin ^ 2 (theta) #, dus # sin ^ 2 (2x) = (1 - cos (4x)) / 2 #.

Vandaar het eindresultaat: # 4intsin ^ 2 (2x) = 4int (1 - cos (4x)) / 2dx = 4intdx / 2 - 4intcos (4x) / 2dx = 2x - 2intcos (4x) dx = 2x + c - 2sin (4x) / 4 + een# met # a, c in RR #. Laten we zeggen #k = a + c #, vandaar het definitieve antwoord.