Hoe bepaal je, zonder te tekenen, of het volgende systeem van lineaire vergelijkingen één oplossing heeft, oneindig veel oplossingen of geen oplossing?

Antwoord:

Een systeem van # N # lineaire vergelijkingen met # N # onbekende variabelen die geen lineaire afhankelijkheid tussen vergelijkingen bevatten (met andere woorden, de bepalend is niet nul) heeft één en slechts één oplossing.

Uitleg:

Laten we een systeem van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekende variabelen beschouwen:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Als paar # (A, B) # is niet evenredig met het paar # (D, E) # (dat wil zeggen, er is geen dergelijk nummer # K # dat # D = kA # en # E = kB #, die kan worden gecontroleerd op voorwaarde # A * E-B * D! = 0 #) dan is er één en enige oplossing:

# X = (C * E * F-B) / (A * B * E-D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * B * E-D) #

Voorbeeld:

# X + y = 3 #

# X-2y = -3 #

Oplossing:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Als paar # (A, B) # is evenredig met het paar # (D, E) # (wat betekent dat er een dergelijk nummer is # K # dat # D = kA # en # E = kB #, die kan worden gecontroleerd door een voorwaarde # A * E-B * D = 0 #) zijn er twee gevallen:

(a) oneindig aantal oplossingen indien # C # en # F # zijn proportioneel met dezelfde coëfficiënt als #EEN# en # D #, dat is # F = kC #, waar # K # is dezelfde evenredigheidscoëfficiënt;

Voorbeeld:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Hier # K = 2 # voor alle paren: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

De tweede vergelijking is een triviaal gevolg van de eerste (vermenigvuldig gewoon de eerste vergelijking met #2#) en biedt daarom geen aanvullende informatie over onbekend, waardoor het aantal vergelijkingen effectief wordt verminderd tot 1.

(b) helemaal geen oplossingen, als #F! = KC #

Voorbeeld:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8j = 5 #

In dit geval zijn vergelijkingen in tegenspraak met elkaar, omdat we, door de eerste met 2 te vermenigvuldigen, afleiden tot een vergelijking # 2x + 8j = 6 #, waar geen gemeenschappelijke oplossing voor is # 2x + 8j = 5 # omdat de linker delen van deze twee vergelijkingen gelijk zijn, maar de juiste delen niet.

Hoe weet je of het systeem y = -2x + 1 en y = -1 / 3x - 3 geen oplossing of oneindig veel oplossingen heeft?

Als u de oplossing (en) grafisch zou proberen te vinden, zou u beide vergelijkingen als rechte lijnen plotten. De oplossing (en) zijn waar de lijnen elkaar kruisen. Omdat dit beide rechte lijnen zijn, zou er hoogstens één oplossing zijn. Omdat de lijnen niet parallel zijn (de gradiënten verschillen), weet je dat er een oplossing is. Je kunt dit grafisch vinden zoals zojuist beschreven, of algebraïsch. y = -2x + 1 en y = -1 / 3x-3 Dus -2x + 1 = -1 / 3x-3 1 = 5 / 3x-3 4 = 5/3 x x = 12/5 = 2,4

Welke van de volgende beweringen zijn waar / onwaar? Verantwoord uw antwoord. (i) R² heeft oneindig veel niet-nul, juiste vector-subruimten. (ii) Elk systeem van homogene lineaire vergelijkingen heeft een niet-nul-oplossing.

"(i) True." "(ii) False." "Proofs." "(i) We kunnen zo'n reeks subruimten construeren:" "1)" forall r in RR, "laat:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. "[Geometrisch," V_r "is de regel door de oorsprong van" RR ^ 2, "van de helling" r.] "2) We zullen controleren of deze subruimten bewering (i) rechtvaardigen." "3) Het is duidelijk:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. "4) Controleer dat:" qquad qquad V_r "een goede deelruimte is van" RR ^ 2. "Laat:" qquad

X - y = 3 -2x + 2y = -6 Wat kan gezegd worden over het stelsel van vergelijkingen? Heeft het één oplossing, oneindig veel oplossingen, geen oplossing of twee oplossingen.

Oneindig veel We hebben twee vergelijkingen: E1: x-y = 3 E2: -2x + 2y = -6 Dit zijn onze keuzes: als ik E1 exact E2 kan maken, hebben we twee uitdrukkingen van dezelfde regel en dus zijn er oneindig veel oplossingen. Als ik de x- en y-termen in E1 en E2 hetzelfde kan maken maar eindigen met verschillende nummers die gelijk zijn, zijn de lijnen evenwijdig en daarom zijn er geen oplossingen.Als ik geen van beide kan doen, heb ik twee verschillende lijnen die niet parallel zijn en dus zal er ergens een snijpunt zijn. Er is geen manier om twee rechte lijnen twee oplossingen te laten hebben (neem twee rietjes en zie het zelf -