Welke van de volgende beweringen zijn waar / onwaar? Verantwoord uw antwoord. (i) R² heeft oneindig veel niet-nul, juiste vector-subruimten. (ii) Elk systeem van homogene lineaire vergelijkingen heeft een niet-nul-oplossing.

Antwoord:

# #

# "(i) Waar." #

# "(ii) Fout." #

Uitleg:

# #

# "Bewijzen." #

# "(i) We kunnen zo'n reeks subruimten maken:" #

# "1)" forall r in RR ", laat:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. #

# "Geometrisch," V_r "is de regel door de oorsprong van" RR ^ 2, "of slope" r. #

# "2) We zullen controleren of deze subruimten bewering rechtvaardigen (i)." #

# "3) Het is duidelijk:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Controleer of:" qquad qquad V_r "een goede deelruimte is van" RR ^ 2. #

# "Let:" qquad u, v in V_r, alpha, beta in RR. qquad qquad qquad quad "Verifieer dat:" quad alpha u + beta v in V_r. #

# u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "voor sommigen" x_1, x_2 in RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + bèta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) in V_r; qquad "met" x_3 = alpha x_1 + bèta x_2. #

# "Dus:" qquad qquad qquadu, v in V_r, alpha, beta in RR quadrArr quad alpha u + beta v in V_r. #

# "Dus:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "is een deelruimte van" RR ^ 2. #

# "Om te zien dat" V_r "niet gelijk is aan nul, merk op:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) in V_r, "en" (1, r) ne (0, 0). #

# "Om te zien dat" V_r "juist is," noteer dat " (1, r + 1)! In V_r: #

# (1, r + 1) in V_r rArr "(door constructie van" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "duidelijk onmogelijk." #

# "Dus:" qquad qquad qquad V_r "is een niet-nul, juiste deelruimte van" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Laat nu zien dat er oneindig veel van dergelijke subruimtes zijn" V_r. #

# "Let:" qquad qquad r, s in RR. qquad qquad qquad quad "We zullen laten zien:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Per definitie:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) in V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) in V_s. #

# "Duidelijk:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Dus:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Dus elke" r in RR "produceert een afzonderlijke subruimte" V_r. #

# "Dit, samen met (1), geeft:" #

# "De familie van subruimten:" r in RR, "is een oneindige familie" #

# "van niet-nul, juiste subruimten van" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Dit is eigenlijk eenvoudig. Als het systeem vierkant is, en de" #

# "coëfficiëntmatrix van het systeem in inverteerbaar, er zal alleen" # zijn

# "de nuloplossing." #

# "Stel:" qquad qquad quad A "is een vierkante, inverteerbare matrix." #

# "Overweeg het homogene systeem:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Dus, zoals" A "is omkeerbaar:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Het homogene systeem" A x = 0, "heeft dus geen" #

# "niet-nuloplossing." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

Laat de hoek tussen twee niet-nulvectoren A (vector) en B (vector) 120 (graden) zijn en het resultaat daarvan is C (vector). Welke van de volgende is (zijn) dan correct?

Optie (b) bb A * bb B = abs bbA abs bbB cos (120 ^ o) = -1/2 abs bbA abs bbB bbC = bbA + bbB C ^ 2 = (bbA + bbB) * (bbA + bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 + 2 bbA * bb B = A ^ 2 + B ^ 2 - abs bbA abs bbB qquad square abs (bbA - bbB) ^ 2 = (bbA - bbB) * (bbA - bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 - 2bbA * bbB = A ^ 2 + B ^ 2 + abs bbA abs bbB qquad triangle abs (bbA - bbB) ^ 2 - C ^ 2 = driehoek - vierkant = 2 abs bbA abs bbB:. C ^ 2 lt abs (bbA - bbB) ^ 2, qquad bbA, bbB ne bb0:. abs bb C lt abs (bbA - bbB)

Welke van de volgende beweringen zijn waar? (1). x ^ (m) + a_1 x ^ (m-1) + ... + a_ (m-1) x + a_ (m) = 0, a_ (i) in R voor alle i = 1, ..., heeft alleen een wortel in R als m een oneven getal is?

"De verklaring is onwaar [erg fout !!]." # "Goede vraag om te stellen - maar het is (zeer) fout. Let op:" qquad qquad qquad p (x) = x ^ 2 qquad "heeft de echte nul" x = 0. "Dus, de oorspronkelijke verklaring is onjuist. " #

Welke van de volgende beweringen zijn waar / onwaar? Geef redenen voor uw antwoorden. 1.Als σ een even permutatie is, dan is σ ^ 2 = 1.

False Een even permutatie kan worden ontbonden in een even aantal transposities. Bijvoorbeeld ((2, 3)) gevolgd door ((1, 2)) is equivalent aan ((1, 2, 3)) Dus als sigma = ((1, 2, 3)) dan sigma ^ 3 = 1 maar sigma ^ 2 = ((1, 3, 2))! = 1