Laat zien dat de vergelijking x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 precies één oplossing heeft op [0, 1]?

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Allereerst, laten we het berekenen #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # op de grens van ons domein:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Als we het derivaat berekenen

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

We kunnen zien dat het altijd positief is #0,1#. Eigenlijk, # X ^ 2 + 1 # is altijd positief, en # 4x # is duidelijk positief, sindsdien #X# is positief.

Dus onze functie begint onder de #X# as, sinds #f (0) <0 #, en eindigt boven de #X# as, sinds #f (1)> 0 #. De functie is een polynoom en is dus continu.

Als een ononderbroken lijn onder de as begint en boven eindigt, betekent dit dat deze ergens tussenin moet zijn gekruist. En het feit dat de afgeleide altijd positief is, betekent dat de functie altijd groeit en dus niet twee keer de as kan overschrijden, vandaar het bewijs.