Wat zijn de waarden van m waarvoor vergelijking x (x-1) (x-2) (x-3) = m alle echte wortels heeft?

Antwoord:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Uitleg:

Dat hebben we #x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Nu maken

# X ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # en gelijkstellingscoëfficiënten die we krijgen

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11 - 6 a ^ 2 - b = 0), (4 a -6 = 0)} #

Oplossen voor #abc# we krijgen

# A = 3/2, b = -5/2, c = 16/01 (9-16m) # of

# X ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 (x-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16m) = 0 #

Deze vergelijking oplossen voor #X# we krijgen

#x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Die wortels zijn echt als # 5 uur 4sqrt (m + 1) ge 0 # of

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Het is bekend dat de vergelijking bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 één echte wortel heeft. Bewijs dat de vergelijking x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 geen echte wortels heeft.?

Zie hieronder. De wortels voor bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 zijn x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) De wortels zullen samenvallen en echt als a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 of a = b of a = 5b Nu oplossen van x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 we hebben x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) De voorwaarde voor complexe wortels is een ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 nu met a = b of a = 5b hebben we een ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Concluderend, als bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 heeft samenvallende echte wortels, dan x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 heeft complexe wortels.

Het domein van f (x) is de verzameling van alle reële waarden behalve 7 en het domein van g (x) is de verzameling van alle reële waarden behalve van -3. Wat is het domein van (g * f) (x)?

Alle reële getallen behalve 7 en -3 wanneer je twee functies vermenigvuldigt, wat doen we? we nemen de f (x) -waarde en vermenigvuldigen deze met de g (x) -waarde, waarbij x hetzelfde moet zijn. Beide functies hebben echter beperkingen, 7 en -3, dus het product van de twee functies moet * beide * beperkingen hebben. Meestal als bewerkingen op functies hebben, als de vorige functies (f (x) en g (x)) beperkingen hadden, worden ze altijd genomen als onderdeel van de nieuwe beperking van de nieuwe functie of hun werking. Je kunt dit ook visualiseren door twee rationale functies te maken met verschillende beperkte waarden,

De kwadratische vergelijking 4px ^ 2 +4 (p + a) x + p + b = 0 heeft geen echte wortels. Zoek het bereik van waarden van p in termen van a en b?

Zie de uitleg hieronder. De kwadratische vergelijking is 4px ^ 2 + 4 (p + a) x + (p + b) = 0 Om deze vergelijking geen echte wortels te laten hebben, moet de discriminant Delta zijn <0 Daarom is Delta = (4 (p + a)) ^ 2-4 (4p) (p + b) <0 =>, (p + a) ^ 2-p (p + b) <0 =>, p ^ 2 + 2ap + a ^ 2-p ^ 2- pb <0 =>, 2ap-pb <-a ^ 2 =>, p (2a-b) <a ^ 2 Daarom, p <- (a ^ 2) / (2a-b) p <(a ^ 2) / (b-2a) Voorwaarden: b-2a! = 0 Daarom is het bereik p in (-oo, a ^ 2 / (b-2a))