Wat zijn de tests van deelbaarheid van verschillende nummers?

Er zijn veel deelbaarheidstests. Hier zijn er een paar, samen met hoe ze kunnen worden afgeleid.

• Een geheel getal is deelbaar door #2# als het laatste cijfer even is.

• Een geheel getal is deelbaar door #3# als de som van de cijfers deelbaar is door 3.

• Een geheel getal is deelbaar door #4# als het gehele getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar is door 4.

• Een geheel getal is deelbaar door #5# als het laatste cijfer 5 of 0 is.

• Een geheel getal is deelbaar door #6# als het deelbaar is door 2 en door 3.

• Een geheel getal is deelbaar door #7# als twee keer het laatste cijfer aftrekken van het gehele getal dat wordt gevormd door het verwijderen van het laatste cijfer, is dit een veelvoud van 7.

• Een geheel getal is deelbaar door #8# als het gehele getal gevormd door de laatste drie cijfers deelbaar is door 8 (dit kan gemakkelijker worden gemaakt door te noteren dat de regel hetzelfde is als voor 4s als het getal van honderden gelijk is en anders het tegenovergestelde)

• Een geheel getal is deelbaar door #9# als de som van de cijfers deelbaar is door 9.

• Een geheel getal is deelbaar door #10# als het laatste cijfer is #0#

Kijk voor deze en meer op de wikipedia-pagina voor deelbaarheidsregels.

Nu kun je je afvragen hoe je deze regels kunt verzinnen, of op zijn minst laten zien dat ze echt zullen werken. Een manier om dit te doen is met een soort wiskunde die modulaire rekenkunde wordt genoemd.

In modulaire rekenkunde kiezen we een geheel getal # N # als de modulus en behandel dan elk ander geheel getal als zijnde congruente modulo # N # naar de rest wanneer gedeeld door # N #. Een gemakkelijke manier om hierover na te denken, is dat u kunt optellen of aftrekken # N # zonder de waarde van een integer modulo te veranderen. Dit is hetzelfde als hoe, op een analoge klok, het toevoegen van twaalf uur resulteert in dezelfde tijd. Het toevoegen van uren op een klok is optiemodulo #12#.

Wat modulaire rekenkunde erg handig maakt bij het bepalen van deelbaarheidsregels, is dat voor ieder geheel getal #een# en positief geheel getal # B #, we kunnen stellen dat #een# is deelbaar door # B # als en alleen als

# a- = 0 "(mod b)" # (#een# is congruent aan #0# modulo # B #).

Laten we dit gebruiken om te zien waarom de deelbaarheidsregel voor #3# werken. We doen dit met een voorbeeld dat het algemene concept moet laten zien. In dit voorbeeld zullen we zien waarom #53412# is deelbaar door #3#. Vergeet niet dat optellen of aftrekken #3# zal de waarde van een integer modulo niet veranderen #3#.

#53412# is deelbaar door #3# als en alleen als # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Maar ook, omdat #10 -3 -3 -3 = 1#, wij hebben # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Dus:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (rood) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Dus #53412# is deelbaar door #3#. De stap in rood laat zien waarom we de cijfers eenvoudigweg kunnen optellen en controleren in plaats van proberen het originele nummer te delen door #3#.