Antwoord:
De top van # Y # is het punt #(-1.25, 26.875)#
Uitleg:
Voor een parabool in standaardvorm: # Y = ax ^ 2 + bx + c #
de vertex is het punt waar #X = (- b) / (2a) #
NB: Dit punt is een maximum of minimum van # Y # afhankelijk van het teken van #een#
In ons voorbeeld: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vertex" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Vervangen voor #X# in # Y #
#y_ "vertex" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
De top van # Y # is het punt #(-1.25, 26.875)#
We kunnen dit punt zien als het minimum van # Y # in de grafiek hieronder.
grafiek {2x ^ 2 + 5x + 30 -43.26, 73.74, -9.2, 49.34}
Om de vertex te vinden, is het eenvoudigst om de grafiek om te zetten in een vergelijking (naast het plotten van het probleem) vertex formulier. Om dat te doen, moeten we "het vierkant voltooien"
# Y = 2x + 2 ^ + 5x 30 #
de leidende coëfficiënt moet zijn #1#, dus factor uit de #2#
# Y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
We moeten een waarde vinden die verandert # X ^ 2 + 5 / 2x + 6 # in een perfect vierkant.
Om dat te doen, moeten we de middellange termijn nemen, #5/2#, en deel het door #2#. Dat geeft ons #5/4#.
Onze volgende stap is om het resultaat vierkant te maken: #(5/4)^2#of #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Nu hebben we onze ontbrekende waarde: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # WACHT We kunnen niet zomaar iets toevoegen aan een probleem! Maar als we iets toevoegen en het onmiddellijk aftrekken, hebben we technisch gezien de vergelijking niet veranderd, omdat ze aftrekken tot nul
Dus, ons probleem is echt # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Laten we dit herschrijven: # X ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 25/06 / 16 #
# X ^ 2 + 5 / + 2x 25/16 # is een perfect vierkant. Laten we het in die vorm herschrijven: # (X + 5/4) ^ 2 #
Laten we nu eens naar onze vergelijking kijken: # (X + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Laten we gelijkaardige termen combineren: # (X + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Nu hebben we de vergelijking in de vorm van een hoekpunt, en we kunnen de top gemakkelijk vinden vanaf hier
# (X + kleur (rood) (5/4)) ^ 2 + kleuren (geel) (71/16) #
# (- kleur (rood) (x), kleur (geel) (y)) #
# (- kleur (rood) (5/4), kleur (geel) (71/16)) #
Dat is de vertex.
Om ons werk te controleren, laten we onze vergelijking in kaart brengen en de vertex zien
{grafiek y = 2 x ^ 2 + 5x + 30}
We hadden gelijk! #-1.25# en #4.4375# zijn gelijk aan #-25/16# en #71/16#
