Vraag # 9be0d

Antwoord:

Deze vergelijking is een benadering van de relativistische energie van een deeltje voor lage snelheden.

Uitleg:

Ik ga uit van wat kennis over speciale relativiteitstheorie, namelijk dat de energie van een bewegend deeltje waargenomen vanuit een inertiaalraam wordt gegeven door # E = gammamc ^ 2 #, waar # Y = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # de Lorentz-factor. Hier # V # is de snelheid van het deeltje waargenomen door een waarnemer in een traagheidsframe.

Een belangrijke benaderingstool voor natuurkundigen is de benadering van de Taylor-serie. Dit betekent dat we een functie kunnen benaderen #f (x) # door #f (x) approxsum_ (n = 0) N ^ (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, hoe hoger # N #, hoe beter de benadering. In feite wordt voor een grote klasse van vloeiende functies deze benadering exact zo # N # gaat naar # Oo #. Let daar op #f ^ ((n)) # staat voor de n-de afgeleide van # F #.

We benaderen de functie #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # voor klein #X#, we merken op dat als #X# is klein, # X ^ 2 # zal nog kleiner zijn, dus we nemen aan dat we factoren van deze volgorde kunnen negeren. Dus we hebben #f (x) approxf (0) + f (0) x # (deze specifieke benadering is ook bekend als de Newton-benadering). #f (0) = 0 # en #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, dus #f '(0) = 1/2 #. daarom #f (x) approx1 + 1 / 2x #.

Nu merken we dat op # Y = f ((v / c) ^ 2) #. Inderdaad als # V # is klein ten opzichte van # C #, wat het in dagelijkse situaties zal zijn, de benadering geldt, dus # Gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Dit substitueren in de vergelijking voor de totale energie van een deeltje geeft # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Dit geeft ons de kinetische energie #E _ ("kin") = E-E_ "rust" approxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # voor lage snelheden, wat consistent is met klassieke theorieën. Voor hogere snelheden is het verstandig om meer termen uit de Taylor-serie te gebruiken, die eindigen met zogenaamde relativistische correcties op de kinetische energie.