Eén ticket wordt willekeurig getrokken uit een tas met 30 tickets genummerd van 1 tot 30. Hoe vindt u de kans dat het een veelvoud van 2 of 3 is?

Antwoord:

#2/3#

Uitleg:

Beschouw de sequenties:

Veelvouden van 2#->#2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30

Veelvouden van 3# -> 3, kleur (rood) (6), 9, kleur (rood) (12), 15 (rood) (18), 21 (rood) (24), 27 (rood) (30) #

Merk op dat veelvouden van 3 die rood gekleurd zijn ook voorkomen in veelvouden van 2.

Het totale aantal beschikbare nummers om te kiezen is dus 15 + 5 = 20

Dus de kans is #20/30=2/3#

Antwoord:

De kans is #2/3#.

Uitleg:

Wij gebruiken de som regel van waarschijnlijkheid, waarin staat dat voor elke twee evenementen #EEN# en # B #,

#P (A "of" B) = P (A) + P (B) -P (A "en" B) #

Laten we dit illustreren met de bovenstaande vraag als een voorbeeld.

Voor deze vraag laten we het #EEN# de gebeurtenis is dat een kaartje een veelvoud is van 2, en dat laten we # B # is de gebeurtenis dat het een veelvoud is van 3. Van de 30 kaarten is de helft een veelvoud van 2: #{2, 4, 6, …, 28, 30}.# Dus we hebben:

#P (A) = 15/30 = 1/2 #

En van de 30 kaarten zijn er 10 veelvouden van 3: #{3, 6, 9, …, 27, 30},# geeft ons

#P (B) = 10/30 = 1/3 #

Als we nu deze twee kansen bij elkaar optellen, krijgen we

#P (A) + P (B) = 15/30 + 10/30 #

#color (wit) (P (A) + P (B)) = 25 / 30color (wit) "XXXX" = 5/6 #

We komen misschien in de verleiding om daar te stoppen, maar we zouden het mis hebben. Waarom? Omdat we hebben dubbel geteld de kansen om een aantal van de nummers te kiezen. Wanneer we de twee sets opstellen, is het gemakkelijk om te zien welke:

# {kleur (wit) (1,) 2, kleur (wit) (3,) 4, kleur (wit) (5,) 6, kleur (wit) (7,) 8, kleur (wit) (9,) 10, kleur (wit) (11,) 12, …, kleur (wit) (27,) 28, kleur (wit) (29,) 30} #

# {kleur (wit) (1, 2,) 3, kleur (wit) (4, 5,) 6, kleur (wit) (7, 8,) 9, kleur (wit) (10, 11,) 12, …, 27, kleur (wit) (28, 29,) 30} #

We hebben alle veelvouden van 6 dubbel geteld, dat zijn alle getallen die veelvouden zijn zowel 2 als 3. Dit is waarom we nodig hebben de kans op "A en B" aftrekken van de som hierboven; het verwijdert de dubbele telling van alle uitkomsten die gemeenschappelijk zijn #EEN# en # B #.

Wat is #P (A "en" B) #? Het is de kans dat het ticket tegelijk een veelvoud van 2 en 3 is, met andere woorden een veelvoud van 6. In de 30 tickets zijn er 5 van dergelijke uitkomsten mogelijk, dus:

#P (A "en" B) = 5/30 = 1/6 #

Terugkerend naar onze oorspronkelijke formule, hebben we

#P (A "of" B) = P (A) + P (B) -P (A "en" B) #

#color (wit) (P (A "of" B)) = 15/30 + 10 / 30-5 / 30 #

#color (wit) (P (A "of" B)) = 20 / 30color (wit) "XXXXXXXi" = 2/3 #.