Twee satellieten P_ "1" en P_ "2" draaien rond in banen van radi R en 4R. De verhouding van maximale en minimale hoeksnelheden van de lijn die P_ "1" en P_ "2" met elkaar verbindt is ??

Antwoord:

#-9/5#

Uitleg:

Volgens de derde wet van Kepler, # T ^ 2 propto R ^ 3 impliceert omega propto R ^ {- 3/2} #, als de hoeksnelheid van de buitenste satelliet is #omega#, die van de innerlijke is #omega keer (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Laten we overwegen # T = 0 # om een moment te zijn waarop de twee satellieten collinear zijn met de moederplaneet, en laten we deze gemeenschappelijke lijn nemen als de #X# as. Vervolgens de coördinaten van de twee planeten op tijd # T # zijn # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # en # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, respectievelijk.

Laat # Theta # de hoek zijn die de lijn tussen de twee satellieten maakt met de #X# as. Het is gemakkelijk om dat te zien

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Differentiatierendementen

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 keer #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

Dus

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) houdt in #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) houdt # in

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Waar de functie

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

heeft het derivaat

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

en is daarom monotoon aflopend in het interval #-1,1#.

Dus de hoeksnelheid # (d theta) / dt # is maximaal wanneer #cos (7 omega t) # is minimum en vice versa.

Zo, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 keer (-1)) / (17-8 tijden (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega keer 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 keer 1) / (17-8 keer 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega keer (-1) / 9 = -4/3 omega #

en dus is de verhouding tussen de twee:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Notitie Het feit dat # (d theta) / dt # veranderingsteken is de oorzaak van de zogenaamde schijnbare retrograde beweging