De kracht uitgeoefend op een object dat horizontaal beweegt op een lineair pad wordt beschreven door F (x) = x ^ 2-3x + 3. Met hoeveel verandert de kinetische energie van het object terwijl het object van x in [0, 1] beweegt?

Antwoord:

De tweede bewegingswet van Newton:

# F = m * a #

Definities van versnelling en snelheid:

# A = (du) / dt #

# U = (dx) / dt #

Kinetische energie:

# K = m * u ^ 2/2 #

Antwoord is:

# AK = 06/11 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Uitleg:

De tweede bewegingswet van Newton:

# F = m * a #

# X ^ 2-3 x + 3 = m * a #

Het substitueren # A = (du) / dt # helpt niet met de vergelijking, sinds # F # wordt niet gegeven als een functie van # T # maar als een functie van #X# Echter:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Maar # (Dx) / dt = u # zo:

# A = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Vervangen door de vergelijking die we hebben, hebben we een differentiaalvergelijking:

# X ^ 2-3 x + 3 = m * u (du) / dx #

# (X ^ 2-3 x + 3) dx = m * Udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3 x + 3) dx = int_ (U_1) ^ (u_2) m * Udu #

De twee snelheden zijn onbekend, maar de posities #X# zijn bekend. Ook is de massa constant:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3 x + 3) dx = m * int_ (U_1) ^ (u_2) Udu #

# X ^ 3 / ^ 3-3x 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 02/02 _ (U_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- U_1 ^ 2/2) #

# 6/11 = m * u_2 ^ 2/2-m * ^ u_2 2/2 #

Maar # K = m * u ^ 2/2 #

# 6/11 = K_2-K_1 #

# AK = 06/11 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Notitie: de eenheden zijn # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 # alleen als de afstanden zijn opgegeven # (x in 0,1) # zijn in meters.