Integratie van 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Antwoord:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Uitleg:

Begin met het ontbinden van de noemer:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Nu kunnen we gedeeltelijke breuken doen:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x 1) #

We kunnen vinden #EEN# de cover-up methode gebruiken:

# A = 1 / ((text (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Vervolgens kunnen we beide zijden vermenigvuldigen met de LHS-noemer:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 (B + C-1/3) + x + (C + 1/3) #

Dit geeft de volgende vergelijkingen:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1> C = 2/3 #

Dit betekent dat we onze oorspronkelijke integraal kunnen herschrijven:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

De eerste integraal kan worden gedaan met behulp van een expliciete u-substitutie, maar het is vrij duidelijk dat het antwoord is #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

We kunnen de resterende integraal splitsen in twee:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

De reden voor de bedrog met vermenigvuldigen en delen door #2# is om de linker noemer eenvoudiger in te stellen om u-substitutie te gebruiken.

Ik bel de linker integrale Integral 1 en de juiste integrale Integral 2

Integraal 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Omdat we deze integraal al hebben voorbereid voor vervanging, hoeven we alleen maar te vervangen # U = x ^ 2-x + 1 #, en de afgeleide is # 2x-1 #, daarom delen we dat om te integreren met betrekking tot # U #:

#int cancel (2x-1) / (annuleren (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integraal 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

We willen deze integraal in de vorm krijgen:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Om dit te doen, moeten we het vierkant voor de noemer invullen:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

We willen een u-vervanging introduceren, zodanig dat:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

#-X 1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u + 1/2 #

We vermenigvuldigen ons met de afgeleide met betrekking tot # U # integreren met betrekking tot # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

De oorspronkelijke integraal voltooien

Nu we het antwoord op Integral 1 en Integral 2 kennen, kunnen we ze weer aansluiten op de oorspronkelijke expressie om ons definitieve antwoord te krijgen:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Antwoord:

# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Uitleg:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Hoe dit probleem stap voor stap oplossen met de toepassing van integratie?

A) N (14) = 3100-400sqrt2 ~~ 2534 kleur (wit) (... |) N (34) = 3900-400sqrt2 ~~ 3334 b) N (t) = 400sqrt (t + 2) + 1500- 400sqrt2 We beginnen met het oplossen van N (t). We kunnen dit doen door simpelweg beide zijden van de vergelijking te integreren: N '(t) = 200 (t + 2) ^ (- 1/2) int N' (t) dt = int 200 (t + 2) ^ (- 1/2) dt We kunnen een u-substitutie doen met u = t + 2 om de integraal te evalueren, maar we herkennen dat du = dt, dus we kunnen net doen alsof t + 2 een variabele is en de macht gebruiken regel: N (t) = (200 (t + 2) ^ (1/2)) / (1/2) + C = 400sqrt (t + 2) + C We kunnen de constante C oplossen omdat we

Hoe deze te beantwoorden met behulp van integratie?

Het gebied is = (32/3) u ^ 2 en het volume is = (512 / 15pi) u ^ 3 Begin door het snijpunt met de x-as te vinden y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 Daarom is x = 0 en x = 4 Het gebied is dA = ydx A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx = [2x ^ 2-1 / 3x ^ 3] _0 ^ 4 = 32-64 / 3 -0 = 32 / 3u ^ 2 Het volume is dV = piy ^ 2dx V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx = pi [16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 4 = pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) = pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) pi = (512/15)

Wat is integratie met behulp van de trapeziumregel?

Laten we het interval [a, b] verdelen in n subintervallen van gelijke lengte. [a, b] tot {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, waarbij a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. We kunnen de definitieve integraal int_a ^ bf (x) dx berekenen door Trapezoïde Regel T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n}