Wat is cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Antwoord:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Uitleg:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Nu, met behulp van #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, we krijgen,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos (cos ^ (- 1) (13/05 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Antwoord:

Met de somhoekformule die dat is

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Uitleg:

#x = cos (arcsin (-1/2) + arccos (5/13)) #

Deze vragen zijn verwarrend genoeg met de funky omgekeerde functienotatie. Het echte probleem met vragen als deze is dat het over het algemeen het beste is om de inverse functies als meerwaardig te beschouwen, wat kan betekenen dat de uitdrukking ook meerdere waarden heeft.

We kunnen ook kijken naar de waarde van #X# voor de hoofdwaarde van de inverse functies, maar dat laat ik over aan anderen.

Hoe dan ook, dit is de cosinus van de som van twee hoeken, en dat betekent dat we de somhoekformule gebruiken:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Cosinus van inverse cosinus en sinus van inverse sinus zijn eenvoudig. De cosinus van inverse sinus en sinus van inverse cosinus is ook eenvoudig, maar daar komt het probleem met meerdere waarden om de hoek kijken.

Er zijn over het algemeen twee niet-samentrekkende hoeken die een gegeven cosinus, negaties van elkaar delen, waarvan sines ontkenningen van elkaar zijn. Er zijn over het algemeen twee niet-samentrekkende hoeken die een gegeven sinus, aanvullende hoeken delen, die cosinussen hebben die ontkenningen van elkaar zijn. Dus beide manieren waarop we met een #p.m#. Onze vergelijking zal er twee hebben #p.m# en het is belangrijk om op te merken dat ze onafhankelijk zijn, niet gekoppeld.

Laten we nemen #arcsin (-1/2) # eerste. Dit is natuurlijk een van trig's cliches, # -30 ^ circ # of # -150 ^ circ #. De cosinussen zullen zijn # + sqrt {3} / 2 # en # - sqrt {3} / 2 # respectievelijk.

We hoeven niet echt de hoek te overwegen. We kunnen nadenken over de juiste driehoek met tegenovergestelde 1 en hypotenusa 2 en komen met aangrenzende # Sqrt {3} # en cosinus # pm sqrt {3} / 2 #. Of als dat teveel nadenkt, sindsdien # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # dan #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # wat ons mechanisch laat zeggen:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Evenzo #5,12,13# is Pythagorean Triple hier dus gebruikt

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #