Hoe vind je de exacte waarde van cos58 met behulp van de som en het verschil, dubbele hoek of halve hoek formules?

Antwoord:

Het is precies een van de wortels van #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # waar #T_n (x) # is de # N #th Chebyshev Polynoom van de eerste soort. Dat is een van de 46 wortels van:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Uitleg:

# 58 ^ circ # is geen veelvoud van # 3 ^ circ #. Veelvouden van # 1 ^ circ # dat zijn geen veelvouden van # 3 ^ circ # zijn niet te construeren met een richtliniaal en een kompas, en hun trig-functies zijn niet het resultaat van een of andere samenstelling van gehele getallen die optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vierkanten rooten gebruiken.

Dat betekent niet dat we geen uitdrukking kunnen opschrijven voor #cos 58 ^ circ #. Laten we het gradenbord nemen als een factor van {#} 2pi / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #

#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

Niet zo behulpzaam.

We kunnen proberen een polynomiale vergelijking op te schrijven waarvan een van de wortels is #cos 58 ^ circ # maar het zal waarschijnlijk te groot zijn om te passen.

# Theta = 2 ^ circ # is #180#e van een cirkel. Sinds #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # dat betekent #cos 2 ^ circ # voldoet

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #

Laten we dit oplossen # Theta # eerste. #cos x = cos a # heeft wortels # x = pm a + 360 ^ circ k, # geheel getal # K #.

# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k of theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

Dat zijn veel wortels, en we zien het # Theta = 58 ^ circ # onder hen.

De polynomen #T_n (x) #, genaamd de Chebysjev Polynomen van de eerste soort, voldoen #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Ze hebben gehele coëfficiënten. We kennen de eerste paar van de formules voor dubbele en drievoudige hoeken:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # zo# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad quad # zo# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # zo # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # zo # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

Er is een mooie recursierelatie die we kunnen verifiëren:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

Dus in theorie kunnen we deze voor even groot genereren # N # zoals we willen.

Als we het laten # x = cos theta, # onze vergelijking

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

wordt

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram Alpha vertelt ons graag wat die zijn. Ik zal de vergelijking alleen schrijven om de wiskundige weergave te testen:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Ja, dit antwoord wordt lang, dank je Socratic. In ieder geval, een van de wortels van dat 46e graden polynoom met integer coëfficiënten is # cos 58 ^ circ #.