Hoe vind ik de eerste afgeleide van f (x) = 2 sin (3x) + x?

Antwoord:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Uitleg:

Onderscheid elke term:

# (D (x)) / dx = 1 #

Gebruikmakend van de kettingregels voor de tweede termijn hebben we:

#G (x) = h (k (x)) => g '(x) = k (x) h (k (x)) #

Met:

#h (u) = 2sin (u) => h (u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Samen hebben we:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Antwoord:

We worden gevraagd om de afgeleide van te vinden #f (x) = 2sin (3x) + x # gebruikmakend van de definitie: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Uitleg:

We moeten evalueren:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Dit zal omslachtig zijn. Om het er minder ingewikkeld uit te laten zien, laten we de uitdrukking opsplitsen in twee eenvoudigere delen. We nemen het trigonometrische deel en het lineaire deel apart.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Ik ga ervan uit dat je kunt laten zien dat de tweede limiet is #1#. De meer uitdagende limiet is de limiet met trigonometrische functies.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Dus, wanneer we de twee stukken samenvoegen, krijgen we:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #