Antwoord:
Zie uitleg …
Uitleg:
Als # P = q = r # dan:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Dus alle nullen die ze hebben, zullen met elkaar gemeen hebben.
Merk op dat deze voorwaarden niet vereist zijn.
Bijvoorbeeld, als # P = 0 #, #q! = 0 # en #r! = 0 # dan:
# Px ^ 2 + qx + r = 0 # heeft root # X = r / q #
# Qx ^ 2 + rx + p = 0 # heeft wortels # X = r / q # en # X = 0 #
Dus de twee vergelijkingen hebben wel een gemeenschappelijke wortel, maar #p! = q # en we hebben dit niet nodig # P + q + r = 0 #.
Antwoord:
Zie onder.
Uitleg:
Zoals # Px ^ 2 + qx + r = 0 # en # Qx ^ 2 + rx + p = 0 # hebben een gemeenschappelijke root, laat deze root zijn # Alpha #. Dan
# Palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # en # Qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
en daarom # Alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
en # Alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # en # Alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
d.w.z. # (Qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
of # (Qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
of # Q ^ 2r ^ 2 + p ^ ^ 4-2p 2QR = p ^ 2QR-pq ^ 3-pr ^ 3 ^ q + 2r ^ 2 #
of # P ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ ^ 3-3p 2QR = 0 # en delen door # P #
of # P ^ 3 ^ 3 + q + r ^ 3-3pqr = 0 #
d.w.z. # (P + q + r) (p ^ q ^ 2 + 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Vandaar ook # P + q + r = 0 # of # P ^ q ^ 2 + 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Observeer dat als # Alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# Alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (a ^ 2 + a + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
en als # P ^ q ^ 2 + 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, wij hebben # Alpha ^ 2 + a + 1 = 0 # d.w.z. # P = q = r #
