Stel dat S1 en S2 niet-nul subruimten zijn, met S1 binnen S2, en stel dat dim (S2) = 3?

Antwoord:

#1. {1, 2}#

#2. {1, 2, 3}#

Uitleg:

De truc hier is om op te merken dat een subruimte wordt gegeven # U # van een vectorruimte # V #, wij hebben #dim (U) <= dim (V) #. Een eenvoudige manier om dit te zien is op te merken dat elke basis van # U # zal nog steeds lineair onafhankelijk zijn in # V #, en dus moet het een basis zijn van # V # (als # U = V #) of hebben minder elementen dan een basis van # V #.

Voor beide delen van het probleem hebben we # S_1subeS_2 #, wat betekent, door het bovenstaande, dat #dim (S_1) <= dim (S_2) = 3 #. Bovendien weten we dat # S_1 # is niet-nul, betekenis #dim (S_1)> 0 #.

#1.# Zoals # S_1! = S_2 #, we weten dat de ongelijkheid #dim (S_1) <dim (S_2) # is streng. Dus # 0 <dim (S_1) <3 #, betekenis #dim (s_1) in {1,2} #.

#2.# Het enige dat voor dit onderdeel is veranderd, is dat we nu de mogelijkheid hebben om # S_1 = S_2 #. Dit verandert de ongelijkheid in # 0 <dim (S_1) <= 3 #, betekenis # S_1in {1,2,3} #

Stel dat z = x + yi, waarbij x en y reële getallen zijn. Als (iz-1) / (z-i) een reëel getal is, laat dat zien dat wanneer (x, y) niet gelijk is aan (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Zie hieronder, As z = x + iy (iz-1) / (zi) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) = (ix-y-1) / (x + i (y-1)) = (ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (xi (y-1)) / (xi (y-1)) = ((ix - (y + 1)) (xi (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) = (ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) = (x ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2- 1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) = (-2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) As (iz-1) / (zi) is reëel (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 en x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 Nu als x ^ 2 + (y-1) ^ 2 is een som van twee vierkanten, het kan alleen nul zijn als x = 0 en y = 1 dwz als (x, y) niet (0,1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1 is

Laat f (x) = x-1. 1) Controleer of f (x) niet even of oneven is. 2) Kan f (x) worden geschreven als de som van een even functie en een oneven functie? a) Stel zo een oplossing voor. Zijn er meer oplossingen? b) Zo niet, bewijs dan dat het onmogelijk is.

Laat f (x) = | x -1 |. Als f even was, dan zou f (-x) gelijk zijn aan f (x) voor alle x. Als f oneven was, dan zou f (-x) gelijk zijn aan -f (x) voor alle x. Merk op dat voor x = 1 f (1) = | 0 | = 0 f (-1) = | -2 | = 2 Omdat 0 niet gelijk is aan 2 of aan -2, is f niet even noch oneven. Kan f geschreven worden als g (x) + h (x), waar g even is en h oneven? Als dat waar was, dan is g (x) + h (x) = | x - 1 |. Noem deze verklaring 1. Vervang x door -x. g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | Omdat g even is en h oneven is, hebben we: g (x) - h (x) = | -x - 1 | Noem deze verklaring 2. Door uitspraken 1 en 2 samen te voegen, zien we dat g

Laten we zeggen dat K en L twee verschillende deelruimte reële vectorruimte V zijn. Indien gegeven dim (K) = dim (L) = 4, hoe kunnen minimale dimensies mogelijk zijn voor V?

5 Laat de vier vectoren k_1, k_2, k_3 en k_4 een basis vormen van de vectorruimte K. Omdat K een deelruimte van V is, vormen deze vier vectoren een lineair onafhankelijke reeks in V. Omdat L een deelruimte van V is die verschilt van K , er moet ten minste één element zijn, zeg I_1 in L, dat niet in K staat, dat wil zeggen, dat geen lineaire combinatie is van k_1, k_2, k_3 en k_4. Dus de set {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} is een lineaire onafhankelijke reeks vectoren in V. Dus de dimensionaliteit van V is minstens 5! In feite is het mogelijk dat de spanne van {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} de volledige vectorruimte V is - z