Wat zijn de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Antwoord:

Het enige uiterste is # X = 0,90322 … #, een functieminimum

Maar je moet een kubieke vergelijking oplossen om er te komen en het antwoord is helemaal niet 'leuk' - weet je zeker dat de vraag correct is ingetypt? Ik heb ook suggesties gegeven voor het benaderen van het antwoord zonder in te gaan op de hoeveelheid analyse die hieronder volledig wordt weergegeven.

Uitleg:

1. Standaardbenadering wijst ons in een moeizame richting

Bereken eerst de afgeleide:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (4-x) / x #

dus (volgens ketting- en quotiëntregels)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x 24-4-/ x ^ 2 #

Zet dan gelijk aan 0 en los op #X#:

#-32x 24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

We hebben een kubieke vergelijking, die oplosbaar is door radicalen, maar dit is allesbehalve een eenvoudig proces. We weten dat deze vergelijking over het algemeen drie wortels zal hebben, maar niet dat ze allemaal echt zullen zijn, hoewel er tenminste één zal zijn - dat er tenminste één zal zijn die we kennen van de Intermediate Value Theorem - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - wat ons vertelt dat omdat de functie naar het oneindige gaat aan de ene kant en min oneindig naar de andere, dan moet het alle waarden daartussen opnemen op een bepaald punt.

Trialling een paar eenvoudige waarden (1 is vaak een informatieve en snelle waarde om te proberen), we zien dat er ergens tussen 1/2 en 1 een root zit, maar we vinden geen voor de hand liggende oplossingen om de vergelijking te vereenvoudigen. Het oplossen van een kubieke vergelijking is een lang en moeizaam proces (wat we hierna zullen doen), dus het is de moeite waard om eerst je intuïtie te informeren. Trialling-oplossingen verder, vinden we dat het tussen 0,9 en 0,91 ligt.

2. Los een vereenvoudigd probleem op

De functie bestaat uit het verschil van twee termen, # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # en # F_2 (x) = (x-4) / x #. Voor een groot deel van het bereik #X#, de eerste hiervan zal enorm domineren, omdat de tweede term dicht bij 1 staat voor alle waarden van #X# weg van kleine waarden. Laten we ons afvragen hoe de twee afzonderlijke termen zich gedragen.

Eerste term, # F_1 #

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Stel dit gelijk aan nul: # X = 3/4 #. Dit is in de regio van de nul van de functie die we hebben gevonden, maar het is er niet erg dichtbij.

#f (1) # is een parabool in #X#, een die de #X# as op # X = 3/4 #. Zijn afgeleide is een steile rechte lijn van gradiënt 32 die de x-as op hetzelfde punt kruist.

Tweede semester, # F_2 #

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Stel dit gelijk aan nul: er zijn geen oplossingen in #X#. Zo # F_2 # heeft geen extrema als een functie op zichzelf. Het heeft echter een punt waarop het tot in het oneindige opwaait: # X = 0 #. Het gaat naar positieve oneindigheid als het van de negatieve kant 0 nadert en naar de negatieve oneindigheid als het de 0 van de positieve kant nadert. Ver weg van dit punt neigt de curve naar de waarde 1 aan beide zijden. # F_2 # is een hyperbool gecentreerd op # (X, y) = (0,1) #. Het afgeleide is een curve in twee delen, voor negatief en positief #X#. Het gaat vanuit beide richtingen naar een positieve oneindigheid # X = 0 # en is altijd positief.

Let daar op # F_1 ^ '(x) <0 # voor iedereen #x <0 #. Er kunnen geen kruispunten zijn met # F_1 ^ # en # F_2 ^ # op het negatieve #X# as. Over het positieve #X# as moet er precies één snijpunt zijn - één curve gaat van minder dan 0 tot oneindig als #X# doet hetzelfde terwijl de ander van oneindig naar 0 gaat. Door een toepassing van de Tussenliggende Waarde Stelling (zie hierboven) moeten ze exact één keer kruisen.

Dus nu zijn we er zeker van dat we alleen op zoek zijn naar één oplossing, maar daar hebben we geen goed antwoord op.

3. Geef een numerieke benadering van het antwoord

In professionele situaties die de oplossing van dit soort problemen vereisen, is de numerieke benadering vaak de snelste manier om te bereiken waar u moet komen. Een vrij goede manier om wortels van een functie te vinden, is de Newton-Raphson-methode (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Dat is: om een root van een functie te vinden # F #, maak eerst een schatting # X_0 # bij een wortel en herhaal dan rond en rond volgens deze formule:

# X_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# X_1 # is een betere gok dan # X_0 #, en men herhaalt dit gewoon totdat de gewenste nauwkeurigheid is bereikt.

Herinner onze functie en zijn afgeleide:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (4-x) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Dus we kunnen 0,5 raden als onze wortel, die maakt # X_0 = 0,5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Dus # F_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, inderdaad een nader antwoord. Herhalen brengt ons naar de waarde van ongeveer 0.9 hierboven genoemd.

Dus we kunnen het antwoord met willekeurige nauwkeurigheid vinden, maar het volledige antwoord vereist een analytische oplossing, iets dat we hierboven opmerkten, zou moeilijk zijn. Hier gaan we…

4. Los het volledige probleem op, langzaam en pijnlijk

Laten we nu de volledige kubieke oplossing doen (je zult van de algebra moeten houden om deze goed op te lossen):

Deel eerst door om de leidende term coëfficiënt 1 te maken:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

Ten tweede, voer de volgende vervanging in voor de variabele # Y # om de te verwijderen # X ^ 2 # termijn:

Plaatsvervanger # X = y + 1/4 #. Meer in het algemeen, voor een vergelijking van de vorm # ^ Ax 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, zou men vervangen # X = y-z / (3a) #. Als je door de algebra werkt, zul je zien dat dit altijd de oorzaak is # X ^ 2 # termijn om te verdwijnen. In dit geval verkrijgen we:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Vouw haken uit, onthoud de Binomiale stelling:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Merk op dat de twee Y ^ # 2 # voorwaarden annuleren exact)

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

We hebben nu hetzelfde aantal termen als eerder, omdat we eerder nee hadden # Y # termijn. Het verliezen van de Y ^ # 2 # termijn is een wiskundige winst, belofte!

Ten derde, maak een nieuwe vervanging (Vieta's vervanging: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) om dit in een kwadratische vorm te veranderen:

Plaatsvervanger # Y = w + 1 / (16w) #. Meer in het algemeen, voor een vergelijking van de vorm # Y ^ 3 + py = q #, deze vervanging is # Y = gew.dln / (3w) #.

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (M + 1 / (16w)) ^ 03/03 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# W ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16W-3 / 256w = 5/32 #

(Merk op dat beide # W # en # 1 / w # voorwaarden annuleren precies)

# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Nu kun je je afvragen wat in vredesnaam het voordeel hiervan is - we hebben gespeeld met onze graad 3-vergelijking tot we een graad 6-vergelijking hebben, zeker een verlies … Maar we kunnen het nu beschouwen als een kwadratische vergelijking in # W ^ 3 #, en we kunnen kwadratische vergelijkingen oplossen …)

Ten vierde, los de kwadratische vergelijking op voor # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (W ^ 3) ^ 05/02 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

De kwadratische vergelijking gebruiken:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

We hebben een antwoord! Nu moeten we het gewoon relateren aan onze oorspronkelijke variabele #X#.

Ten vijfde, converteren naar onze oorspronkelijke voorwaarden

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Neem de kubuswortel:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Herinner hoe wij met elkaar omgingen # Y # naar # W # eerder: # Y = w + 1 / (16w) #

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (03/01)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Nu # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (03/01)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (03/01)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (03/01)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (03/01)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Socratisch lijkt geen minus plus plus van plus-minus te bieden, dus we moeten het op deze manier schrijven)

Dus

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (03/01)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (03/01)) / 4 #

Als we de mintekens in de tweede grote term vermenigvuldigen, kunnen we zien dat we twee identieke expressies krijgen, dus we kunnen de kwadratische plus / mintekens weglaten en vereenvoudigen tot

# Y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Eindelijk (!) Herinneren dat we ingesteld # X = y + 1/4 #.

Dus

# X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (03/01)) / 4 #

Zesde, leid af hoeveel van deze wortels echt zijn

De twee uitdrukkingen in de wortels van de kubus hebben elk één echte wortel en twee geconjugeerde denkbeeldige wortels. Een echt aantal #een# heeft drie kubuswortels # A ^ (1/3) #, # A ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# A ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Nu weten we dat beide uitdrukkingen in de wortels van de kubus positief zijn (opmerking # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), en dus de imaginaire componenten in de tweede en derde waarden voor #X# kan niet optellen tot nul.

Conclusie

Daarom is er maar één echte root voor #X# (zoals we ver boven concludeerden door een eenvoudigere analyse), en dus slechts één lokaal extreem op de curve waar je naar vraagt, gegeven door de uitdrukking

# X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (03/01)) / 4 #

of, in decimaal

# X = 0,90322 … #

We kunnen afleiden dat dit een minimum van de functie is door het feit dat er slechts één extremum is en de functie neigt naar positieve oneindigheid aan beide uiteinden.