Wat is de vergelijking van de parabool met focus op (-15, -19) en een richtlijn van y = -8?

Antwoord:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Uitleg:

Omdat de richtlijn een horizontale lijn is, weten we dat de parabool verticaal georiënteerd is (opent zowel omhoog als omlaag). Omdat de y-coördinaat van de focus (-19) onder de richtlijn (-8), weten we dat de parabool opent. De vertexvorm van de vergelijking voor dit type parabool is:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Waarbij h de x-coördinaat van de vertex is, k is de y gecoördineerd van de vertex en de brandpuntsafstand, f, de helft van de ondertekende afstand van de richting naar de focus:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

De y-coördinaat van de vertex, k, is f plus de y-coördinaat van de directrix:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

De x-coördinaat van de vertex, h, is gelijk aan de x-coördinaat van de focus:

#h = -15 #

Vervanging van deze waarden in vergelijking 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Een beetje vereenvoudigen:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Antwoord:

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Uitleg:

Parabool is de plaats van een punt, dat zo beweegt dat de afstand tot een lijn, genaamd directix, en een punt, focus genoemd, gelijk zijn.

We weten dat de afstand tussen twee punten # (X_1, y_1) # en # X_2, y_2) # is gegeven door #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # en

de afstand tussen punt # (X_1, y_1) # en regel # Ax + by + c = 0 # is # | Ax_1 by_1 + + C | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nu afstand van een punt # (X, y) # op parabool vanuit focus op #(-15,-19)# is #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

en de afstand tot de richtlijn # Y = -8 # of # Y + 8 = 0 # is # | Y + 8 | / sqrt (2 + 1 ^ 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Vandaar dat vergelijking van parabool zou zijn

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # of

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # of

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + + 16y 64 # of

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

grafiek {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}