Hoe evalueer ik cos (pi / 5) zonder een rekenmachine te gebruiken?

Antwoord:

Cos (#pi# / 5) = cos 36 ° = (# Sqrt #5 + 1)/4.

Uitleg:

Als # Theta # = #pi#/ 10, dan 5# Theta # = #pi#/2 #=># cos3# Theta # = sin2# Theta #. cos (#pi# /2 - # Alpha #) = zonde# Alpha #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # Theta # - 3cos# Theta # = 2sin# Theta #cos# Theta ##=># 4 # Cos ^ 2 ## Theta # - 3 = 2 zonde # Theta #.

#=># 4 (1 - # Sin ^ 2 # # Theta #) - 3 = 2 zonde# Theta #. #=># 4# Sin ^ 2 # # Theta #+ 2sin# Theta # - 1 = 0#=>#

zonde# Theta # =(# Sqrt # 5 - 1) /4.

Nu cos 2# Theta # = cos #pi#/5 = 1 - 2# Sin ^ 2 # # Theta #, geeft het resultaat.

Antwoord:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Uitleg:

Laat #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Dus #cos (4 * pi / 5) = -a #. Van de dubbelhoekformules:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

aftrekken, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# A + b # is niet nul, omdat beide termen positief zijn, dus # A-b # moet zijn #1/2#. Dan

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

en de enige positieve wortel is

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

En #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.